§ 11. Приближения чисел

Определения и обозначения

Приближённым значением числа a называют число b, которое используют вместо a с некоторой допустимой погрешностью; это записывают так: a ≈ b. Например, если длина равна 2,37 м, её можно приблизительно указать как 2,4 м. Такая замена нужна, когда точное значение не требуется или его невозможно записать полностью.

Абсолютная погрешность приближения — это модуль разности между точным числом и его приближённым значением: Δ = |a − b|. Модуль показывает величину разницы без учёта того, больше или меньше приближение исходного числа. По абсолютной погрешности можно судить, насколько далеко приближение от точного значения в тех же единицах.

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к модулю точного числа: δ = Δ / |a|, если a ≠ 0. Она показывает, насколько велика ошибка по сравнению с самим числом, поэтому помогает оценивать качество приближений чисел разного масштаба. Чтобы записать относительную погрешность в процентах, её умножают на 100%.

Как это устроено

Приближение выбирают, исходя из цели вычисления: для примерной оценки достаточно нескольких цифр, а в точных расчётах сохраняют больше знаков. Чем ближе b к a, тем меньше абсолютная погрешность. Но одной абсолютной погрешности не всегда хватает для сравнения: ошибка в 1 см мала для длины комнаты, но велика для длины карандаша.

Относительная погрешность помогает учесть размер числа. Для её вычисления абсолютную погрешность делят на модуль точного значения, а затем при необходимости переводят в проценты. Например, одинаковая ошибка 1 может быть небольшой для числа 1000 и значительной для числа 2. При точном значении, равном нулю, такое отношение не определено.

Округление позволяет сократить запись числа, сохранив нужную точность. Сначала определяют разряд, до которого округляют: например, до десятых оставляют один знак после запятой. Затем смотрят на следующую цифру: если она меньше 5, последнюю оставляемую цифру не меняют, а если равна 5 или больше — увеличивают на 1. Цифры после рассматриваемой при этом отбрасывают.

При округлении до единицы последнего оставленного разряда абсолютная погрешность не превышает половины этой единицы. Так, при округлении до десятых максимальная погрешность равна 0,05, а при округлении до сотых — 0,005. Это ограничение позволяет заранее оценить точность записи, не зная точного значения погрешности. Если вместо округления просто отбросить цифры, погрешность может оказаться почти равна целой единице последнего оставленного разряда.

При вычислениях приближённые числа не следует считать точными только потому, что в них записано много цифр. Если исходные данные округлены, результат тоже может содержать погрешность. Поэтому в ответе оставляют столько знаков, сколько оправдано точностью исходных чисел и условия задачи.

Округление и оценка погрешности

В таблице сначала найдите требуемый разряд, а затем примените правило к следующей цифре. Примеры показывают, какие цифры остаются в записи после округления. Оценка в последней строке относится именно к округлению, а не к простому отбрасыванию цифр.

Разбор задач

Задача. Число 12,746 округлили до сотых. Найдите полученное приближение и оцените его абсолютную и относительную погрешности. Точное число известно, поэтому погрешность можно вычислить напрямую, а затем сравнить с величиной исходного числа. Такой порядок помогает не путать округление с оценкой точности.

1. До сотых нужно оставить два знака после запятой: в записи 12,746 это цифры 7 и 4.
2. Смотрим на следующую цифру — это 6. Она больше 5, поэтому сотые увеличиваем на единицу: 12,746 ≈ 12,75.
3. Находим абсолютную погрешность: Δ = |12,746 − 12,75| = 0,004. Получившаяся разность показывает, насколько приближение отличается от точного числа.
4. Находим относительную погрешность: δ = 0,004 / 12,746 ≈ 0,000314. Чтобы выразить её в процентах, умножаем на 100% и получаем примерно 0,0314%.
5. Проверяем оценку для округления до сотых: половина единицы последнего разряда равна 0,005. Поскольку 0,004 меньше 0,005, найденная абсолютная погрешность соответствует правилу.

Ответ: приближение равно 12,75; абсолютная погрешность равна 0,004, относительная — примерно 0,000314, или 0,0314%. Если точное число неизвестно, абсолютную погрешность нельзя вычислить точно, но для округления до сотых можно утверждать, что она не превышает 0,005. Такая оценка полезна, когда требуется подтвердить точность результата без знания всех цифр исходного числа.

Типичные ошибки

• Оставляют цифру без изменения, хотя следующая цифра равна 5 или больше. Так происходит, если смотреть только на нужный разряд и забыть проверить следующий. Чтобы проверить себя, подчеркните первую отбрасываемую цифру и примените правило округления именно к ней.

• Путают абсолютную и относительную погрешности. Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах, что и число, а относительная является отношением и может быть записана в процентах. Проверьте формулу: для относительной погрешности нужно разделить Δ на |a|.

• Считают, что при округлении до десятых погрешность не больше 0,1. Это значение — единица последнего разряда, а граница погрешности округления равна её половине, то есть 0,05. Проверяйте число оставленных знаков: до сотых граница равна 0,005.

• Отбрасывают лишние цифры и называют результат округлённым. При отбрасывании значение последней оставленной цифры не меняют, а при округлении решение зависит от следующей цифры. Для проверки сравните исходное число с результатом и убедитесь, что применили нужное правило.

Связь с другими темами

Приближения используются при десятичных дробях и округлении, которые помогают записывать числа компактно. Они нужны и в вычислениях с действительными числами, например при работе с корнями и числами π, чья десятичная запись бесконечна. Знание погрешности помогает оценивать, насколько результат вычислений соответствует точности исходных данных. Это полезно и в задачах на измерения, где результат обычно нельзя определить абсолютно точно.

Что запомнить

• Приближённое значение заменяет точное число и записывается с помощью знака ≈.
• Абсолютная погрешность: Δ = |a − b|.
• Относительная погрешность: δ = Δ / |a|, если a ≠ 0; в процентах результат умножают на 100%.
• При округлении цифра после нужного разряда меньше 5 — оставляемую цифру не меняют; 5 или больше — увеличивают на 1.
• При округлении погрешность не превышает половины единицы последнего оставленного разряда.