11.1. Абсолютная погрешность приближения

Определения и обозначения

Точное значение — истинное значение величины, с которым сравнивают результат. Его обозначают буквой A. Например, при вычислении приближения числа π точным значением считают π.

Приближённое значение — число, которое используют вместо точного значения, когда точное неудобно записывать или получать. Его обозначают буквой a. Так, 3,14 — приближённое значение числа π.

Абсолютная погрешность приближения — модуль разности приближённого и точного значений: |a − A|. Она показывает, на сколько единиц приближение отличается от истины, поэтому помогает оценить точность результата.

Предельная абсолютная погрешность — число, не меньшее фактической абсолютной погрешности. Если ошибка не превосходит ε, записывают |a − A| ≤ ε. Такая запись особенно полезна, когда точное значение неизвестно, но можно установить верхнюю границу ошибки.

Как это устроено

Погрешность возникает потому, что при замене точного значения приближённым используются разные числа. Например, число π нельзя полностью записать конечной десятичной дробью, поэтому в вычислениях берут 3,14 или 3,1416. Чем сильнее эти числа различаются, тем больше отклонение результата от точного значения.

Чтобы сравнить приближённое значение с точным, из одного числа вычитают другое. Для обозначений задачи записывают разность a − A, а затем берут её модуль: |a − A|. В результате получают расстояние между двумя числами на числовой прямой, то есть фактическую абсолютную погрешность.

Модуль необходим, потому что ошибка может иметь разные направления. Если a больше A, приближение завысили и разность a − A положительна; если a меньше A, приближение занизили и разность отрицательна. Но величина отклонения в обоих случаях должна быть положительной или нулевой, поэтому используют модуль.

Фактическая абсолютная погрешность — это конкретное число, которое получается после сравнения a и A. Предельная погрешность обозначает только границу: она допускает, что настоящая ошибка меньше указанного числа. Например, запись |a − A| ≤ 0,1 не утверждает, что ошибка равна 0,1, а лишь говорит, что она не больше 0,1.

При округлении до заданного разряда точное значение обычно неизвестно, но можно установить границу ошибки. Если шаг последнего сохраняемого разряда равен h, то округлённое число отличается от исходного не более чем на половину шага: h/2. Поэтому округление до десятых даёт предельную погрешность 0,05, а до сотых — 0,005.

Абсолютная погрешность приближения

В таблице собраны основные обозначения и действия. Сначала определите, какое значение дано: точное, приближённое или уже известная оценка ошибки. Затем выберите соответствующую формулу или неравенство.

Разбор задач

Задача 1

Число π приближённо равно 3,14. Требуется найти абсолютную погрешность этого приближения, считая π точным значением. Здесь A = π, а = 3,14.

1. Записываем формулу абсолютной погрешности: |a − A|.
2. Подставляем данные: |3,14 − π|.
3. Так как π ≈ 3,14159, получаем |3,14 − 3,14159| ≈ 0,00159.

Ответ: |3,14 − π| ≈ 0,00159. Точное значение ошибки можно оставить в виде |3,14 − π|.

Задача 2

Пусть приближённое значение √2 равно 1,41, а для оценки используем √2 ≈ 1,4142. Нужно определить абсолютную погрешность по этим данным. В этой задаче A ≈ 1,4142, а = 1,41.

1. Находим разность приближённого и точного значений: 1,41 − 1,4142 = −0,0042.
2. Берём модуль, поскольку погрешность не должна зависеть от знака разности: |−0,0042| = 0,0042.
3. Проверяем смысл результата: приближение 1,41 меньше 1,4142, а расстояние между числами равно 0,0042.

Ответ: абсолютная погрешность приближения равна 0,0042.

Задача 3

Некоторую величину округлили до десятых. Требуется установить предельную абсолютную погрешность такого округления. Последний сохраняемый разряд имеет шаг h = 0,1.

1. При обычном округлении число заменяют ближайшим значением с шагом 0,1.
2. Наибольшее расстояние до ближайшего такого значения возникает посередине между соседними числами.
3. Половина шага равна 0,1 : 2 = 0,05, поэтому ошибка не превышает 0,05.

Ответ: предельная абсолютная погрешность равна 0,05, то есть |a − A| ≤ 0,05.

Типичные ошибки

Иногда разность вычисляют без модуля и получают отрицательное число. Так происходит, когда приближённое значение меньше точного, но знак разности принимают за саму ошибку. Проверьте себя: абсолютная погрешность должна быть неотрицательной, поэтому после вычитания нужно взять модуль.

Другая ошибка — смешать точное и приближённое значения или неверно подписать A и a. Само значение модуля при перестановке чисел не изменится, но смысл записи станет неясным. Перед вычислением выпишите отдельно: A — точное значение, a — приближённое.

Предельную погрешность иногда принимают за фактическую. Например, из условия |a − A| ≤ 0,1 нельзя сделать вывод, что ошибка равна 0,1: она может быть 0,03 или 0. Нужно различать точное значение ошибки и число, которое только ограничивает её сверху.

При округлении до заданного разряда некоторые берут целую единицу последнего разряда вместо половины. Например, для десятых ошибочно получают 0,1, хотя максимальное отклонение от ближайшей десятой равно 0,05. Найдите шаг разряда и разделите его на два.

Связь с другими темами

Для работы с абсолютной погрешностью нужны знания о модуле числа: он заменяет отрицательное число его положительным значением, а ноль оставляет нулём. Также нужно уметь округлять десятичные дроби и понимать, какой шаг соответствует последнему сохранённому разряду.

Оценка погрешности используется при вычислениях с приближёнными числами и при обработке результатов измерений. Она помогает понять, насколько можно доверять полученному ответу и достаточно ли выбранной точности для практической задачи.

Что запомнить

• Абсолютная погрешность — модуль разности приближённого и точного значений.
• Абсолютная погрешность неотрицательна.
• Если приближённое значение равно точному, абсолютная погрешность равна нулю.
• Предельная абсолютная погрешность задаёт верхнюю границу возможной ошибки.
• При округлении до единиц разряда с шагом h погрешность не превосходит h/2.