11.2. Относительная погрешность приближения

Определения и обозначения

Приближённое значение — число, которое используют вместо точного значения. Точное значение обозначим x, а приближённое — a. Оно необходимо, когда точное число неизвестно, слишком громоздко для записи или получено измерением.

Абсолютная погрешность приближения — модуль разности точного и приближённого значений: |x − a|. Модуль убирает знак и показывает только величину ошибки. По абсолютной погрешности можно узнать, на сколько единиц приближение отличается от точного значения.

Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения: |x − a| / |x|, x ≠ 0. Она показывает ошибку не саму по себе, а по сравнению с величиной x. Поэтому относительная погрешность удобна для оценки и сравнения точности.

Процентная погрешность — относительная погрешность, выраженная в процентах. Чтобы получить её, относительную погрешность умножают на 100%. Например, 0,03 соответствует 3%, то есть ошибка составляет три сотых точного значения.

Как это устроено

Чтобы найти абсолютную погрешность, из точного значения вычитают приближённое и берут модуль: |x − a|. Если приближение больше точного, разность будет положительной, а если меньше — отрицательной. Модуль делает оба случая равноправными, ведь размер ошибки не должен зависеть от направления отклонения.

Одной абсолютной погрешности бывает недостаточно для сравнения. Ошибка 1 см мала при измерении длины 10 м, но заметна при измерении длины 2 см. Значит, нужно учитывать не только число единиц ошибки, но и размер самой величины.

Для этого абсолютную погрешность делят на |x| и получают |x − a| / |x|. В знаменателе стоит модуль точного значения, потому что ошибка сравнивается с величиной без учёта её знака. Кроме того, модуль сохраняет относительную погрешность неотрицательной.

Чтобы выразить результат в процентах, дробь умножают на 100%. Например, относительная погрешность 0,005 означает процентную погрешность 0,5%. Число процентов показывает, сколько процентов точного значения составляет ошибка: чем оно меньше, тем выше точность.

При сравнении двух приближений одной величины сначала находят относительную погрешность каждого. Затем результаты приводят к одному виду: например, обе величины записывают десятичными дробями или процентами. Меньшая относительная погрешность означает, что приближение ближе к точному значению относительно масштаба этой величины.

Абсолютная и относительная погрешности приближения

Таблица помогает выбрать нужную характеристику ошибки. Абсолютную погрешность используют, когда важен конкретный разрыв в единицах, а относительную — когда нужно оценить точность относительно размера величины.

Разбор задач

Задача 1

Условие: точное значение равно 50, приближённое — 49. Найдём абсолютную и относительную погрешности.

1. Находим абсолютную погрешность: |50 − 49| = 1.
2. Делим её на модуль точного значения: 1 / |50| = 1 / 50 = 0,02.
3. При необходимости переводим результат в проценты: 0,02 · 100% = 2%.

Ответ: абсолютная погрешность равна 1, относительная — 0,02, или 2%.

Задача 2

Условие: длину 2 м измерили с абсолютной погрешностью 1 см. Найдём относительную и процентную погрешности.

1. Приводим единицы к одному виду: 2 м = 200 см.
2. Делим абсолютную погрешность на точную длину: 1 / 200 = 0,005.
3. Переводим относительную погрешность в проценты: 0,005 · 100% = 0,5%.

Ответ: относительная погрешность равна 0,005, процентная — 0,5%.

Задача 3

Условие: одну длину оценили двумя способами: относительные погрешности равны 0,02 и 1,5%. Определим более точное приближение.

1. Переводим 0,02 в проценты: 0,02 · 100% = 2%.
2. Сравниваем 2% и 1,5%.
3. Так как 1,5% меньше 2%, второе приближение имеет меньшую относительную ошибку.

Ответ: точнее приближение с относительной погрешностью 1,5%.

Типичные ошибки

Иногда абсолютную погрешность делят на приближённое значение a. Это кажется естественным, потому что именно a дано в условии, но по определению знаменателем служит модуль точного значения |x|. Проверьте формулу перед подстановкой чисел.

Другая ошибка — не брать модуль разности или точного значения. Тогда результат может оказаться отрицательным, хотя погрешность означает размер ошибки. После вычислений убедитесь, что оба значения в формуле заключены в модуль, где это требуется.

Нельзя смешивать единицы: делить сантиметры на метры без предварительного перевода. Сначала приведите все данные к сантиметрам, метрам или другой одной единице, а уже потом вычисляйте отношение.

При переводе в проценты некоторые забывают умножить относительную погрешность на 100% или делают это дважды. Достаточно выполнить одно действие: например, 0,04 · 100% = 4%, а не 400%.

Связь с другими темами

Для работы с погрешностями нужны модуль числа, действия с дробями и понимание отношений величин. Модуль помогает получить неотрицательный размер ошибки, а отношение показывает её долю от точного значения.

Понятие погрешности связано с округлением чисел, измерениями и оценкой точности вычислений. Оно помогает понять, насколько результат отличается от точного и можно ли считать такое отличие допустимым.

Что запомнить

• Абсолютная погрешность равна |x − a|.
• Относительная погрешность равна |x − a| / |x| при x ≠ 0.
• Относительная погрешность показывает, насколько велика ошибка по сравнению с точным значением.
• Процентная погрешность получается умножением относительной погрешности на 100%.
• Чем меньше относительная погрешность, тем точнее приближение.
• Перед вычислением погрешности все значения должны быть выражены в одинаковых единицах.