"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Приближённые числа используют, когда точное значение неизвестно или слишком неудобно для вычислений. При сложении и вычитании их ошибки влияют на результат, поэтому нужно уметь заранее оценивать его точность. Главное правило: абсолютная погрешность суммы или разности не превышает суммы абсолютных погрешностей исходных чисел. Такая оценка помогает правильно округлять ответ и понимать, сколько знаков в нём можно сохранить.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приближённое значение числа — число, которое используют вместо точного значения. Обычно его обозначают буквой A, если точное число обозначено a, и пишут a ≈ A. Если известно, что ошибка не больше δ, запись означает: |a − A| ≤ δ. Это позволяет проводить вычисления даже тогда, когда точное значение получить невозможно.
Абсолютная погрешность приближения — модуль разности между точным и приближённым значениями: |a − A|. Модуль нужен потому, что нас интересует величина ошибки, а не её знак. Часто точную погрешность не знают, поэтому указывают её верхнюю границу δ: |a − A| ≤ δ.
Оценка погрешности суммы — правило, согласно которому при сложении верхние границы погрешностей слагаемых складываются. Если a приближено числом A с погрешностью не более δ₁, а b — числом B с погрешностью не более δ₂, то A + B приближает a + b с погрешностью не более δ₁ + δ₂. Так заранее оценивают точность результата.
Оценка погрешности разности устроена так же: погрешности уменьшаемого и вычитаемого складываются. Приближённый результат имеет вид A − B, а его ошибка не превосходит δ₁ + δ₂. Знак вычитания относится к самим значениям, но не превращает возможные ошибки в гарантированное уменьшение.
Точное число удобно представить как сумму приближённого значения и ошибки. Если a приближено числом A, то можно написать a = A + ε₁, где ε₁ = a − A; аналогично b = B + ε₂. При этом |ε₁| ≤ δ₁ и |ε₂| ≤ δ₂. Такая запись превращает задачу о точности результата в задачу о поведении ошибок.
Для суммы подставим эти представления: a + b = (A + ε₁) + (B + ε₂) = A + B + (ε₁ + ε₂). Значит, ошибка приближённой суммы равна ε₁ + ε₂ с учётом знаков. По неравенству треугольника |ε₁ + ε₂| ≤ |ε₁| + |ε₂|, поэтому |(a + b) − (A + B)| ≤ δ₁ + δ₂.
При вычитании получаем a − b = (A + ε₁) − (B + ε₂) = A − B + (ε₁ − ε₂). Ошибка результата равна ε₁ − ε₂, но модуль этой разности оценивают так: |ε₁ − ε₂| ≤ |ε₁| + |ε₂|. Поэтому знак «минус» не позволяет просто вычесть погрешности: например, если ε₁ положительна, а ε₂ отрицательна, то ε₁ − ε₂ увеличивается.
Итак, если |a − A| ≤ δ₁ и |b − B| ≤ δ₂, то для суммы и разности действует одна общая оценка: абсолютная погрешность результата не превосходит δ₁ + δ₂. Это не означает, что ошибка обязательно равна такой сумме: фактические ошибки могут частично компенсировать друг друга. При округлении результата сначала находят эту границу, а затем выбирают разряд, для которого требуемая точность сохраняется.
| Действие | Приближённый результат | Оценка абсолютной погрешности |
|---|---|---|
| Сложение чисел a и b | A + B | Не превосходит δ₁ + δ₂ |
| Вычитание чисел a и b | A − B | Не превосходит δ₁ + δ₂ |
| Условия | a приближено числом A, b — числом B | |a − A| ≤ δ₁, |b − B| ≤ δ₂ |
| Вывод | Результат вычислен по приближениям | Для суммы и разности границы погрешностей складываются |
Сначала найдите приближённый результат, выполнив действие с числами A и B. Затем сложите верхние границы погрешностей исходных чисел, независимо от того, складываются или вычитаются сами значения. Полученная сумма показывает, насколько результат может отличаться от точного.
Задача 1. Числа a и b приближены значениями A и B с абсолютными погрешностями не более 0,1 и 0,03. Оценим погрешность приближения суммы A + B.
Ответ: погрешность приближения суммы A + B не превосходит 0,13.
Задача 2. Длины двух отрезков приближённо равны 12,4 см и 7,8 см, погрешность каждого измерения не превосходит 0,1 см. Найдём разность и оценим её точность.
Ответ: приближённая разность равна 4,6 см, её абсолютная погрешность не превосходит 0,2 см.
Задача 3. Приближённые значения двух величин равны 3,47 и 1,82, погрешность каждого не превосходит 0,005. Проверим, можно ли записать разность с точностью до сотых.
Ответ: да, разность можно записать как 1,65 с точностью до сотых.
Вычитать погрешности при разности. Так поступают, перенося знак действия на модули ошибок. Проверяйте себя формулой |ε₁ − ε₂| ≤ |ε₁| + |ε₂|: безопасная оценка всегда содержит сумму.
Учитывать только одну погрешность. Ошибка возникает, если забыть, что оба исходных числа получены приближённо. Выпишите границу для каждого числа и убедитесь, что обе вошли в итоговую сумму.
Считать сумму границ точной ошибкой. Такая сумма показывает лишь максимально возможную погрешность, а реальные ошибки могут сократиться. В ответе используйте слова «не превосходит», если точная ошибка неизвестна.
Округлять без проверки точности. Количество записанных знаков само по себе не доказывает правильность результата. Сначала вычислите оценку погрешности, затем сравните её с точностью выбранного разряда.
До этой темы нужны понятия приближённого значения и абсолютной погрешности. Также используется неравенство треугольника для модулей: |x + y| ≤ |x| + |y|. Именно оно объясняет, почему ошибки складывают даже при вычитании чисел.
Оценки погрешности применяются при измерениях и приближённых вычислениях. Они помогают определить точность результата сложного расчёта, когда исходные данные известны не идеально. По такой оценке выбирают разумное округление ответа.
Почему при вычитании погрешности тоже складываются?
При вычитании ошибки входят в выражение с разными знаками, но сами ошибки могут иметь любые знаки. В наихудшем случае их вклад по модулю сложится, поэтому используют сумму верхних границ погрешностей.
Может ли фактическая погрешность результата быть меньше полученной оценки?
Да. Сумма границ погрешностей задаёт только максимально возможную величину ошибки. Из-за взаимного частичного уничтожения ошибок настоящая погрешность часто оказывается меньше.
Нужно ли учитывать погрешности обоих чисел?
Да, потому что каждое приближённое число вносит свою ошибку в результат. Поэтому складывают границы погрешностей обоих слагаемых, уменьшаемого и вычитаемого.
Как определить, до какого разряда можно округлить результат?
Сначала находят верхнюю оценку абсолютной погрешности результата. Затем выбирают такой разряд округления, чтобы допустимая ошибка записи не превышала требуемую точность.
Чем оценка погрешности отличается от самой погрешности?
Погрешность — это фактическая разность между точным и приближённым значениями по модулю. Оценка погрешности — известная заранее верхняя граница, которая может быть больше настоящей ошибки.
11.3*. Приближения суммы и разности
