"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Приближённые числа используют, когда точное значение неизвестно или вычисление слишком сложно. При умножении и делении таких чисел нужно находить не только результат, но и оценивать его точность. Главное правило: для произведения и частного складываются относительные погрешности исходных данных, если они достаточно малы, а делитель не близок к нулю. Это позволяет понять, сколько цифр результата действительно заслуживает доверия.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приближённое значение — число, заменяющее точное значение с указанной точностью. Например, 3,14 — приближённое значение числа π. Оно нужно, когда точное значение неизвестно или его неудобно использовать в вычислениях.
Абсолютная погрешность — модуль разности между точным и приближённым значениями: Δx = |x − x₀|. Она показывает, на сколько единиц приближённое число отличается от точного. По абсолютной погрешности решают, до какого разряда можно округлить ответ.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого или точного значения: δ ≈ Δx/|x₀|. Обычно её записывают дробью, десятичным числом или процентом. Она удобна для сравнения точности чисел разного размера.
Приближение произведения и частного — вычисление результата по приближённым множителям, делимому и делителю с оценкой возможной погрешности. Сам результат находят обычным умножением или делением приближённых значений. Затем проверяют, сколько цифр ответа подтверждается исходными данными.
Пусть точные значения имеют вид a = a₀ + α и b = b₀ + β, где a₀ и b₀ — приближённые значения, а α и β — их погрешности. Тогда произведение равно (a₀ + α)(b₀ + β). Такая запись превращает задачу о точности в обычное раскрытие скобок.
После раскрытия получаем ab = a₀b₀ + a₀β + b₀α + αβ. Первое слагаемое есть вычисленное произведение, следующие два описывают влияние каждой погрешности отдельно, а αβ учитывает их совместное влияние. Если α и β малы, произведение αβ значительно меньше остальных добавок и обычно им пренебрегают.
Разделим прибавку к произведению на само произведение a₀b₀. Приближённо получаем α/a₀ + β/b₀, то есть относительная погрешность произведения складывается из относительных погрешностей множителей. Поэтому абсолютные ошибки при умножении не складывают: у чисел могут быть разные масштабы.
Для частного запишем a/b = (a₀ + α)/(b₀ + β). При малой β можно считать 1/(b₀ + β) примерно равным 1/b₀ − β/b₀², поэтому ошибка делителя тоже входит в результат и по модулю прибавляется к ошибке делимого. Получаем правило δ(a/b) ≈ δ(a) + δ(b), причём b₀ должен быть далёк от нуля.
В таблице сначала найдите формулу для нужной операции, затем вычислите относительные погрешности исходных данных и сложите их. Если требуется абсолютная погрешность, умножьте найденную относительную погрешность на модуль приближённого результата. При малом делителе или больших ошибках оценка может оказаться недостаточно точной.
| Операция | Приближённое значение результата | Оценка относительной погрешности | Важные условия |
|---|---|---|---|
| Произведение двух приближённых чисел | y₀ = a₀b₀ | δ(y) ≈ δ(a) + δ(b) | Ошибки малы; a₀ и b₀ не равны нулю при использовании относительных ошибок |
| Частное двух приближённых чисел | y₀ = a₀/b₀ | δ(y) ≈ δ(a) + δ(b) | b₀ не должен быть близок к нулю |
| Произведение нескольких приближённых чисел | y₀ = a₀b₀c₀… | δ(y) ≈ δ(a) + δ(b) + δ(c) + … | Сумма относительных погрешностей должна быть небольшой |
| Частное с несколькими множителями в числителе и знаменателе | y₀ = (a₀b₀)/(c₀d₀) | δ(y) ≈ δ(a) + δ(b) + δ(c) + δ(d) | Все делители не близки к нулю |
| Переход от относительной погрешности к абсолютной | Δy ≈ |y₀|δ(y) | δ(y) = Δy/|y₀| | Результат y₀ должен быть ненулевым для обратного перехода |
Пусть a = 2,34, Δa = 0,01 и b = 5,1, Δb = 0,1. Требуется найти произведение и оценить его погрешность. Сначала переведём абсолютные погрешности в относительные.
Ответ: ab ≈ 11,93, абсолютная погрешность не превышает примерно 0,29. Поэтому разумно записать результат как 11,9 ± 0,3.
Пусть a = 12,6, Δa = 0,1 и b = 3,2, Δb = 0,1. Нужно найти a/b и определить допустимую погрешность результата. Ошибка делителя учитывается наравне с ошибкой делимого.
Ответ: a/b ≈ 3,94 с погрешностью около 0,15. Больший вклад даёт делитель, потому что одна и та же абсолютная ошибка 0,1 составляет у него заметную долю.
Рассмотрим выражение y = (a·b)/(c·d), где a = 2,0, b = 3,0, c = 4,0, d = 5,0, а относительные погрешности равны соответственно 1%, 2%, 1% и 3%. Требуется проверить, можно ли получить результат с относительной погрешностью не более 5%.
Ответ: y ≈ 0,3, относительная погрешность около 7%; получить точность 5% по данным условия нельзя.
Складывают абсолютные погрешности при умножении или делении. Так поступают по привычке после сложения чисел, но у множителей разные размеры. Проверьте себя: сначала разделите каждую абсолютную погрешность на модуль соответствующего числа.
Забывают учитывать погрешность делителя. Ошибка возникает, когда частное воспринимают как действие только над делимым. Запишите формулу δ(a/b) ≈ δ(a) + δ(b) и убедитесь, что в ней есть оба слагаемых.
Применяют правило при делителе, близком к нулю. Тогда небольшая абсолютная ошибка делителя превращается в большую относительную, и приближённая оценка становится ненадёжной. Перед вычислением проверьте, что модуль делителя заметно больше его погрешности.
Сохраняют слишком много значащих цифр. Калькулятор показывает много цифр, но исходные данные могут подтверждать только несколько. Сначала оцените погрешность, а затем округлите результат до соответствующего разряда.
До этой темы нужны знания о приближённых числах, абсолютной и относительной погрешностях, а также правила действия с дробями и степенями. Тема продолжает округление и оценку точности численных вычислений: теперь оценивается не отдельное число, а результат умножения или деления. Эти правила применяются при обработке измерений, вычислениях по формулам и дальнейшем изучении численных методов.
Почему при умножении складывают относительные, а не абсолютные погрешности?
Абсолютная погрешность измеряется в единицах самого числа, поэтому погрешности разных множителей напрямую несопоставимы. Относительная погрешность показывает долю ошибки от величины числа, и именно такие доли при умножении примерно складываются.
Почему погрешность делителя влияет на результат сильнее, чем обычно ожидают?
В частном делитель находится в знаменателе, поэтому его ошибка изменяет весь масштаб результата. Особенно заметно это при малом по модулю делителе: даже небольшая абсолютная ошибка становится большой относительной ошибкой.
Можно ли применять эти правила, если одно из приближённых чисел равно нулю?
Для относительной погрешности нулевого числа обычная формула неприменима: деление на модуль приближённого или точного значения невозможно. В такой ситуации используют абсолютную погрешность и специальный анализ конкретного выражения.
Как определить, сколько знаков оставить в результате?
Сначала оценивают абсолютную погрешность результата, затем округляют само значение до разряда этой погрешности. Лишние значащие цифры не показывают реальную точность и создают ложное впечатление надёжности.
Почему произведение малых погрешностей обычно не учитывают?
При раскрытии произведения появляется слагаемое, содержащее сразу две погрешности. Если обе ошибки малы, их произведение ещё намного меньше каждой из них, поэтому на требуемую точность оно обычно не влияет.
11.4*. Приближение произведения и частного
