"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Приближённые вычисления нужны, когда точное значение неизвестно или его неудобно записывать: при измерениях, извлечении корней и работе с калькулятором. Число заменяют близким значением и указывают точность такой замены. Главные понятия темы — абсолютная и относительная погрешности, округление и границы, в которых находится точное значение. Эти правила помогают получать результат, которому можно доверять.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приближённое значение — число, заменяющее точное значение с указанной степенью точности. Его записывают знаком ≈, например √17 ≈ 4,123. Такое обозначение показывает, что числа близки, но не обязательно равны.
Абсолютная погрешность — модуль разности между точным значением x и приближённым значением a: Δ = |x − a|. Она показывает, на какое расстояние приближение отстоит от точного числа. Чем меньше Δ, тем ближе результат к истинному значению.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения: δ = Δ/|x|; если точное значение неизвестно, используют оценку Δ/|a|. Часто её выражают в процентах, умножая результат на 100%. Эта величина нужна для сравнения точности приближений разных по размеру чисел.
Округление числа — замена числа близким значением с заданным количеством знаков или значащих цифр. Значащими называют цифры, которые участвуют в записи точности числа, начиная с первой ненулевой. Округление позволяет получить короткую запись и заранее понимать возможную погрешность.
При измерениях точность ограничена шкалой прибора, условиями опыта и возможными ошибками человека, поэтому записать истинную величину полностью нельзя. Иррациональные числа, например √2 или π, тоже имеют бесконечную непериодическую запись. Калькулятор лишь выбирает конечное число цифр на экране, поэтому в каждом случае используют приближение.
Абсолютная погрешность показывает расстояние между точным и приближённым значениями на числовой прямой. Если a — приближение и Δ ≤ ε, то точное значение x удовлетворяет неравенству a − ε ≤ x ≤ a + ε. Например, при a = 12,4 и ε = 0,05 число x находится от 12,35 до 12,45.
Одинаковая абсолютная ошибка может иметь разную значимость. Ошибка 1 см при измерении длины 10 см заметна сильнее, чем ошибка 1 см при измерении длины 10 м. Поэтому сравнивают долю ошибки от величины числа: δ = Δ/|x|, а в процентах — δ · 100%.
При округлении сначала выбирают разряд, который нужно сохранить, а все цифры правее него пока рассматривают как дополнительные. Если первая отброшенная цифра меньше 5, последняя сохранённая цифра не меняется; если она равна 5 или больше, эту цифру увеличивают на единицу. Так, 3,146 при округлении до сотых даёт 3,15, а 3,142 — 3,14.
Раннее округление может изменить следующие действия и накопить ошибку, поэтому промежуточные ответы лучше хранить с запасом цифр. Выражение вводят в калькулятор с соблюдением скобок и порядка действий, например (√17 + √29) / 3. Показанное число затем округляют только в конце и записывают со знаком ≈.
| Характеристика | Обозначение | Как определить | Что показывает |
|---|---|---|---|
| Приближённое значение | a, x ≈ a | Заменить точное значение близким числом | Какое число используют вместо точного |
| Абсолютная погрешность | Δ | Δ = |x − a| | Расстояние до точного значения |
| Относительная погрешность | δ | δ = Δ/|x| или примерно Δ/|a| | Долю ошибки относительно величины числа |
| Округление до заданного разряда | ≈ | Сохранить нужный разряд и учесть следующую цифру | Короткую запись с контролируемой ошибкой |
| Границы точного значения | a − ε ≤ x ≤ a + ε | Прибавить и вычесть допустимую погрешность | Промежуток, в котором может находиться x |
Чтобы воспользоваться таблицей, сначала найдите приближённое значение и обозначьте допустимую ошибку. Затем вычислите абсолютную или относительную погрешность в зависимости от цели сравнения.
Границы особенно полезны, когда точное число неизвестно: они заменяют его одной понятной областью возможных значений. При обычном округлении до выбранного разряда максимальная погрешность не превышает половины единицы следующего разряда.
Условие: с помощью калькулятора найти √17 и округлить результат до сотых, указав возможную абсолютную погрешность. Требуется связать выбранный разряд с границей ошибки. Результат калькулятора используем как промежуточный, а не как точное число.
Ответ: √17 ≈ 4,12; абсолютная погрешность округления не более 0,005.
Условие: число a приближённо равно 12,4 с абсолютной погрешностью не более 0,05. Нужно найти границы для a и оценить относительную погрешность. Так как точное значение неизвестно, для оценки можно использовать приближённое значение в знаменателе.
Ответ: 12,35 ≤ a ≤ 12,45; относительная погрешность не превосходит примерно 0,403%.
Условие: вычислить (√17 + √29) / 3 с точностью до 0,001. Нельзя преждевременно заменять корни короткими округлёнными значениями, иначе ошибка может превысить допустимую. Поэтому сохраняем на экране несколько дополнительных знаков.
Ответ: (√17 + √29) / 3 ≈ 3,169 с точностью до 0,001.
Запись знака равенства вместо ≈ превращает приближённый результат в якобы точный. Так бывает, когда показание калькулятора принимают за полную запись числа. Проверьте себя: если число получено округлением или на экране есть ограниченное количество цифр, используйте знак ≈.
Абсолютную и относительную погрешности иногда путают, сравнивая только разности. Ошибка 0,1 может быть большой для числа 1 и маленькой для числа 1000. Для проверки разделите абсолютную погрешность на величину числа и при необходимости переведите результат в проценты.
Преждевременное округление промежуточных значений может заметно изменить итог. Ошибку допускают ради короткой записи, но несколько маленьких ошибок способны сложиться. Сохраняйте дополнительные цифры и округляйте окончательный результат один раз.
Неверное округление возникает, если не посмотреть на следующую цифру или сохранить лишний разряд. Проверьте правило: цифра от 0 до 4 оставляет последнюю сохранённую цифру, а цифра от 5 до 9 увеличивает её на единицу. После этого убедитесь, что в записи действительно указан требуемый разряд.
До этой темы нужны действия с рациональными числами, степени и корни, сравнение чисел и правила округления. Без них трудно правильно оценить порядок величины и выполнить вычисления с корнями. Полезно также уверенно работать со знаками неравенств.
Приближённые вычисления применяются в геометрии, физике и других предметах, где величины получают измерением. Длина, масса, время и площадь обычно известны не идеально точно. Погрешность помогает понять, насколько можно доверять найденному результату.
Дальше эти идеи используются для оценки результатов, численных методов и обработки экспериментальных данных. Во всех таких задачах важно отличать точную математическую модель от численного приближения. Чем лучше контролируется ошибка, тем надёжнее вывод.
Почему результат калькулятора нельзя считать точным?
Калькулятор обычно показывает конечное число цифр, тогда как точное значение может иметь бесконечную десятичную запись. Например, √17 нельзя полностью записать десятичной дробью, поэтому показание прибора является приближением и его нужно округлять.
Как понять, до какого знака нужно округлять число?
Сначала определяют требуемую точность: до единиц, десятых, сотых или, например, до 0,001. Оставляют цифры до выбранного разряда, а следующую цифру используют для решения: если она 5 или больше, последнюю сохранённую цифру увеличивают на единицу.
Чем абсолютная погрешность отличается от относительной?
Абсолютная погрешность показывает расстояние между точным и приближённым значениями: |x − a|. Относительная погрешность сравнивает это расстояние с величиной самого числа: |x − a|/|x| или, при оценке, |x − a|/|a|.
Почему нельзя округлять каждый промежуточный результат?
При каждом округлении возникает небольшая ошибка, и в последующих действиях она может увеличиваться. Поэтому промежуточные значения сохраняют с несколькими дополнительными цифрами, а окончательное округление выполняют в самом конце.
Как проверить, что полученное на калькуляторе значение разумно?
Оцените результат приблизительно и сравните его с показанием калькулятора. Также проверьте знак, порядок величины и обратное действие: например, квадрат найденного значения корня должен быть близок к подкоренному числу.
11.5*. Приближённые вычисления и калькулятор
