§ 12. Описательная статистика

Определения и обозначения

Среднее арифметическое — сумма всех значений ряда, делённая на их количество. Если значения обозначены как x₁, x₂, …, xₙ, то среднее равно (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n. Оно показывает общий, или средний, уровень данных.

Мода — значение, которое встречается в ряду чаще всего. Например, в ряду 2, 3, 3, 5 модой является 3. Мода помогает узнать наиболее типичное значение, причём мод может быть несколько или не быть совсем.

Медиана — центральное значение упорядоченного ряда. При нечётном количестве элементов берут один центральный элемент, а при чётном находят среднее двух центральных. Медиана показывает середину данных и меньше среднего зависит от крайних значений.

Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда: R = max − min. Он показывает, насколько широко разбросаны наблюдения. Чем больше размах, тем сильнее отличаются крайние значения.

Как это устроено

Статистические данные упорядочивают, чтобы видеть их расположение от меньшего к большему и быстрее находить повторяющиеся значения. Такой список называют упорядоченным рядом. Если значений много, их удобно представить в таблице частот, где каждой величине соответствует число её появлений.

Чтобы составить упорядоченный ряд, сначала выписывают все наблюдения и располагают их по возрастанию, не удаляя повторы. Затем подсчитывают, сколько раз встречается каждое различное значение. Так можно увидеть объём ряда, частоты и значение, которое встречается чаще других.

Среднее вычисляют по всем наблюдениям, потому что оно должно учитывать вклад каждого результата. Добавление большого числа увеличивает сумму и обычно повышает среднее, а добавление малого числа обычно его уменьшает. Поэтому среднее чувствительно к необычно большим или малым значениям.

Медиану находят только после упорядочивания, поскольку её смысл связан с положением в середине ряда. При нечётном объёме достаточно выбрать один центральный элемент. При чётном объёме центральными являются два элемента с номерами n/2 и n/2 + 1, поэтому медиана равна их среднему арифметическому.

Мода и размах дополняют среднее и медиану разной информацией. Мода показывает наиболее частый результат, а размах — расстояние между крайними результатами. Вместе эти показатели помогают понять и типичное значение, и степень разброса данных.

Числовые характеристики набора данных

Сначала определите, какие значения даны и сколько раз каждое повторяется. Затем выберите нужную строку таблицы и примените указанное правило.

Если данные записаны таблицей частот, не забывайте учитывать все повторения значений, особенно при вычислении среднего и медианы.

Разбор задач

Задача 1

Для набора данных 3, 4, 5, 6, 7 найдём среднее арифметическое и размах. Ряд уже упорядочен, поэтому дополнительных перестановок не требуется. Используем определения обеих характеристик.

1. Складываем значения: 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25.
2. Делим сумму на количество чисел: 25 : 5 = 5.
3. Вычитаем минимум из максимума: 7 − 3 = 4.

Ответ: среднее арифметическое равно 5, размах равен 4.

Задача 2

Рассмотрим ряд 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 9. Он уже упорядочен, а число элементов равно 8, то есть является чётным. Поэтому для медианы понадобятся два центральных элемента.

1. Сумма равна 2 + 3 + 3 + 5 + 7 + 7 + 7 + 9 = 43, поэтому среднее равно 43 : 8 = 5,375.
2. Чаще всего встречается 7: оно повторяется три раза, значит, это мода.
3. Центральные элементы имеют номера 4 и 5: это 5 и 7. Медиана равна (5 + 7) : 2 = 6.
4. Размах равен 9 − 2 = 7.

Ответ: среднее арифметическое — 5,375, мода — 7, медиана — 6, размах — 7.

Задача 3

Значения 2, 4, 5, 7, 10 имеют частоты 1, 3, 4, 2, 1 соответственно. Это означает, например, что число 5 входит в исходный ряд четыре раза. Сначала восстановим объём и порядок расположения наблюдений.

1. Объём ряда: 1 + 3 + 4 + 2 + 1 = 11.
2. Среднее: (2·1 + 4·3 + 5·4 + 7·2 + 10·1) : 11 = 69 : 11 ≈ 6,27.
3. Наибольшая частота равна 4, поэтому мода — 5. В упорядоченном ряду 11 элементов шестой элемент равен 5, значит, медиана — 5.
4. Размах равен 10 − 2 = 8.

Ответ: объём ряда — 11, среднее ≈ 6,27, мода — 5, медиана — 5, размах — 8.

Типичные ошибки

Деление на число различных значений. Иногда сумму делят не на объём ряда, а на количество разных чисел. Так происходит из-за смешения числа наблюдений и числа вариантов. Проверьте себя: знаменатель должен равняться сумме всех частот.

Медиана в неупорядоченном ряду. В исходной записи центральное место может занимать случайное число. Сначала расположите значения по возрастанию, а затем отсчитывайте середину.

Самое большое значение принимают за моду. Величина числа не определяет моду, её определяет частота появления. Составьте подсчёт повторов и выберите значение с наибольшей частотой.

Неверно находят размах. Сложение или деление максимума и минимума не описывает расстояние между ними. Проверьте формулу: размах равен максимуму минус минимум.

Связь с другими темами

Для работы с характеристиками нужно уметь складывать и делить числа, сравнивать значения и упорядочивать их. Полезны также частоты и проценты: они показывают, как часто встречается каждое значение. Эти знания применяются при анализе экспериментов, опросов и измерений, а также при изучении вероятности.

Что запомнить

• Среднее арифметическое равно сумме всех значений, делённой на их количество.
• Мода — наиболее часто встречающееся значение.
• Медиана — центральное значение упорядоченного ряда.
• При чётном числе элементов медиана равна среднему двух центральных значений.
• Размах равен разности максимального и минимального значений.
• Для нахождения медианы ряд сначала упорядочивают.
• Одна характеристика не всегда полностью описывает набор данных, поэтому используют несколько показателей.