"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Числовые данные — это результаты наблюдений, измерений или подсчётов, записанные в виде чисел. Их можно представить последовательностью, упорядоченным рядом, таблицей частот или диаграммой. Каждый способ нужен для своей цели: список сохраняет исходные результаты, таблица помогает быстро найти частоту значения, а диаграмма наглядно сравнивает данные. Главное — правильно упорядочить числа, не потерять повторения и выбрать удобный масштаб.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовые данные — это набор чисел, описывающих изучаемые объекты или результаты наблюдений. Например, оценки учеников или температура по дням являются числовыми данными. Они нужны, чтобы записать результаты наблюдений и затем сравнить их.
Ряд данных — последовательность числовых значений, записанных в порядке получения или упорядоченных по величине. Если числа располагают от меньшего к большему, получают ряд по возрастанию, а если наоборот — по убыванию. Такой ряд облегчает поиск значений и подсчёт их повторений.
Частота значения — число появлений данного значения в ряду данных. Например, если оценка 4 встречается пять раз, её частота равна 5. Частоты помогают понять, какие результаты встречаются редко, а какие — часто.
Диаграмма — графическое представление числовых данных, позволяющее сравнивать значения и видеть их распределение. На столбчатой диаграмме чем выше столбец, тем больше соответствующее значение или его частота. Поэтому диаграмма быстро передаёт общую картину набора чисел.
Один и тот же набор чисел представляют по-разному, потому что разные формы отвечают на разные вопросы. Список сохраняет все результаты в исходном виде и полезен, когда важен порядок наблюдений. Таблица или диаграмма изменяют внешний вид записи, но помогают быстрее увидеть нужные свойства данных.
Сначала исходные наблюдения можно упорядочить по возрастанию или убыванию. При этом каждое число должно остаться в ряду столько раз, сколько оно встречалось первоначально. Упорядочивание облегчает проверку: одинаковые значения оказываются рядом, и их проще пересчитать.
После этого выделяют различные значения и для каждого считают число появлений. Получается таблица, где одному значению соответствует одна частота. Если пересчитать все частоты и сложить их, результат должен совпасть с количеством исходных наблюдений.
Таблица частот делает большой набор компактным, потому что одинаковые числа не приходится записывать много раз. Она сразу показывает, какое значение встречается чаще других. Например, вместо длинного списка оценок можно записать только оценки 2, 3, 4 и 5 и число появлений каждой.
Для построения столбчатой диаграммы значения откладывают по одной оси, а частоты или сами величины — по другой. Для каждого значения рисуют отдельный столбец, высота которого соответствует числу из таблицы. Такой способ особенно удобен для сравнения нескольких результатов, тогда как таблица лучше подходит для поиска точного значения.
| Способ представления | Что записывают или изображают | Для чего удобен | Пример применения |
|---|---|---|---|
| Последовательность чисел | Числа в порядке их получения | Сохранить исходные наблюдения | Результаты измерений по дням |
| Упорядоченный ряд данных | Числа по возрастанию или убыванию | Сравнивать значения и искать повторы | Оценки от меньшей к большей |
| Таблица частот | Значения и количество их появлений | Быстро находить частоты | Распределение оценок в классе |
| Столбчатая диаграмма | Столбцы, высота которых показывает число | Наглядно сравнивать данные | Продажи по дням недели |
| Сравнение способов на одном наборе данных | Список, таблица и графическое изображение | Выбирать форму под цель анализа | Анализ результатов контрольной работы |
Сначала определите, что требуется узнать из набора данных. Если нужно сохранить порядок или найти конкретный результат, используйте последовательность или таблицу, а для сравнения чаще выбирайте диаграмму.
При чтении таблицы сопоставляйте значение с его частотой, а при чтении диаграммы — подпись на оси с высотой столбца. Любой способ должен сохранять исходные данные и позволять проверить результат.
Даны результаты контрольной работы: 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 3, 4, 5. Требуется записать их в порядке возрастания. Нужно сохранить все десять результатов, включая повторяющиеся оценки.
Проверка показывает, что в новом ряду 1 + 2 + 4 + 3 = 10 чисел, как и в исходном списке. Ответ: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5.
Для ряда оценок 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 составим таблицу значений и их частот. Сначала выписываем только различные оценки, чтобы не повторять одинаковые строки. Затем для каждой оценки подсчитываем количество появлений.
Таблица имеет вид: значение 2, 3, 4, 5; частота соответственно 1, 2, 3, 2. Проверка: 1 + 2 + 3 + 2 = 8, а в исходном ряду действительно восемь оценок. Ответ: таблица частот составлена с частотами 1, 2, 3, 2.
За пять дней продали 12, 18, 15, 21 и 16 книг: в понедельник, вторник, среду, четверг и пятницу соответственно. По этим данным нужно построить столбчатую диаграмму и найти максимальный результат. По горизонтальной оси отмечаем дни, по вертикальной — количество книг.
Сравниваем высоты столбцов: самым высоким является столбец четверга. Ответ: максимальный результат получен в четверг, продано 21 книга.
Путают значение с его частотой: число 4 — это сама оценка, а количество её появлений — частота. Ошибка возникает, когда смотрят на число, не задавая вопрос, что именно подсчитывается. Проверяйте себя фразой: частота показывает, сколько раз встретилось значение.
При упорядочивании ряда теряют или добавляют элементы, особенно если одинаковые числа записываются подряд. Причина — отсутствие проверки исходного количества наблюдений. После сортировки пересчитайте элементы или сложите частоты повторяющихся значений.
На диаграмме используют неравномерный масштаб или начинают отсчёт не с нуля без специальной причины. Тогда небольшая разница может выглядеть огромной, и сравнение станет неверным. Проверьте равные интервалы на оси и соответствие высоты столбца числу из условия.
Столбцы делают разной ширины или не подписывают оси и единицы измерения. В результате непонятно, к каким данным относится столбец и что означает его высота. Перед завершением подпишите категории, величины и проверьте одинаковую ширину столбцов.
Для этой темы нужны умения сравнивать и упорядочивать числа, считать повторения, читать координатные оси и пользоваться масштабом. Без них трудно составить точный ряд или правильно построить диаграмму.
Представление данных понадобится при изучении среднего арифметического, моды, медианы и других характеристик. Таблица частот помогает выполнять такие вычисления быстрее и организованнее.
Таблицы и диаграммы встречаются в статистике, новостях, бытовых расчётах и задачах ОГЭ. Умение читать их позволяет извлекать нужные сведения без пересчёта всего набора чисел.
Чем числовой ряд отличается от таблицы частот?
Числовой ряд содержит сами результаты, записанные последовательно и иногда упорядоченные по величине. Таблица частот перечисляет различные значения и показывает, сколько раз каждое из них встречается.
Как быстро найти частоту конкретного значения?
Просмотрите ряд и сосчитайте все появления нужного числа. Если уже составлена таблица частот, найдите это значение в первом столбце и прочитайте соответствующее число во втором.
Обязательно ли упорядочивать данные перед составлением таблицы частот?
Нет, частоты можно подсчитать и в исходном порядке. Но упорядоченный ряд помогает не пропустить значение и удобнее для проверки результата.
Почему для сравнения данных часто используют столбчатую диаграмму?
Высота столбцов позволяет быстро увидеть, какое значение больше или встречается чаще. При этом несколько результатов можно сравнить без последовательного чтения всех чисел.
Как проверить, что таблица или диаграмма построена без ошибок?
Сумма частот должна совпадать с общим числом наблюдений. На диаграмме проверяют подписи осей, равномерность масштаба и соответствие высоты каждого столбца таблице.
12.1. Способы представления числовых данных
