12.2. Характеристики числовых данных

Определения и обозначения

Среднее арифметическое — сумма всех чисел набора, делённая на их количество. Если значения обозначить x₁, x₂, …, xₙ, то среднее равно (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n. Оно служит общей характеристикой набора: показывает, какое значение получилось бы, если бы общую сумму распределили поровну между всеми наблюдениями.

Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями набора: размах = максимум − минимум. Он нужен, чтобы оценить, насколько далеко друг от друга находятся крайние результаты. Чем больше размах, тем шире промежуток, который охватывают данные.

Мода — значение, которое встречается чаще остальных. Она помогает увидеть наиболее типичный по частоте результат, например самую распространённую оценку. Моды может не быть, если все значения встречаются одинаково часто, или может быть несколько, если несколько значений делят наибольшую частоту.

Медиана — центральное значение набора, предварительно расположенного по возрастанию. При нечётном количестве чисел берут одно число посередине, а при чётном находят среднее двух центральных. Медиана показывает середину упорядоченных данных и не зависит от того, насколько далеко от неё расположены крайние значения.

Как это устроено

Чтобы найти медиану, данные обязательно упорядочивают: иначе нельзя определить, какие элементы стоят в середине. Например, запись чисел в случайном порядке не показывает, какое значение делит набор на нижнюю и верхнюю части. Для среднего арифметического порядок слагаемых не важен, потому что их сумма от перестановки не меняется. Размах тоже можно вычислить без сортировки всего набора: достаточно найти только максимум и минимум.

Среднее арифметическое строится из двух величин — общей суммы и количества наблюдений. Деление суммы на количество показывает равную долю, которая пришлась бы на каждое наблюдение при равномерном распределении. Поэтому одним числом учитываются все значения набора, а не только самое частое или крайние. При этом особенно большие и маленькие числа могут заметно сдвигать среднее.

Для размаха важны именно крайние значения, потому что он измеряет расстояние от самого маленького результата до самого большого. Разность показывает ширину всего промежутка данных, а не положение типичного результата внутри него. Остальные числа на величину размаха не влияют, если не меняют минимум или максимум. Поэтому два набора могут иметь одинаковый размах, хотя значения между границами у них различаются.

Чтобы определить моду, сравнивают частоты — количество появлений каждого значения. Модой становится значение с наибольшей частотой, поэтому просто часто встречающегося числа недостаточно: нужно проверить остальные. Если наибольшая частота принадлежит двум или нескольким значениям, у набора несколько мод. Если частоты всех значений равны, выделить наиболее частое значение нельзя, и моды нет.

В упорядоченном наборе нечётной длины есть один элемент, расположенный точно посередине: слева и справа от него одинаковое количество чисел. При чётной длине такого единственного элемента нет — середина проходит между двумя центральными числами. Их среднее арифметическое и принимают за медиану, чтобы получить точку между двумя половинами набора. Так правило работает для набора любой длины.

Характеристики числовых данных

Выбирай характеристику в зависимости от вопроса: для общего уровня полезно среднее, для ширины разброса — размах, для частого значения — мода, для середины — медиана. При сравнении наборов лучше смотреть сразу на несколько характеристик. Тогда различия, которые скрывает одно число, становятся заметнее.

Разбор задач

Среднее арифметическое и размах

Условие: для чисел 6, 8, 5, 7, 9 найти среднее арифметическое и размах. Для среднего нужно учесть все пять значений, а для размаха — определить два крайних. Порядок записи не влияет на вычисления этих характеристик.

1. Сложим числа: 6 + 8 + 5 + 7 + 9 = 35.
2. Разделим сумму на количество чисел: 35 / 5 = 7.
3. Наибольшее число — 9, наименьшее — 5. Вычтем минимум из максимума: 9 − 5 = 4.

Ответ: среднее арифметическое равно 7, размах равен 4. Среднее здесь совпало с одним из исходных чисел, но так бывает не всегда. Размах показывает, что крайние значения отличаются на 4.

Мода и медиана

Условие: для набора 3, 7, 5, 7, 4, 9, 7 найти моду и медиану. Для моды сначала сравним частоты, а для медианы выстроим числа по возрастанию. В наборе семь элементов, поэтому после сортировки у него будет одно центральное значение.

1. Число 7 встречается три раза, а каждое из остальных чисел — один раз. Значит, наиболее частое значение — 7.
2. Упорядочим набор: 3, 4, 5, 7, 7, 7, 9.
3. В наборе семь чисел, поэтому центральное — четвёртое. Это 7.

Ответ: мода равна 7, медиана равна 7. Совпадение получилось в этом примере, но характеристики отвечают на разные вопросы. Мода связана с частотой, а медиана — с положением в упорядоченном ряду.

Сравнение двух групп

Условие: даны результаты двух групп: 4, 5, 5, 6, 10 и 2, 5, 6, 8, 9. Сравним группы по среднему арифметическому, медиане и размаху. Такое сравнение покажет, почему одного среднего недостаточно для описания данных.

1. Суммы равны: 4 + 5 + 5 + 6 + 10 = 30 и 2 + 5 + 6 + 8 + 9 = 30. В каждой группе по пять результатов, значит, среднее обеих групп равно 30 / 5 = 6.
2. Обе последовательности уже упорядочены. Центральное, третье значение первой группы — 5, второй — 6, поэтому медианы равны 5 и 6.
3. Размах первой группы: 10 − 4 = 6. Размах второй: 9 − 2 = 7.

Ответ: средние равны 6, медианы равны 5 и 6, размахи равны 6 и 7 соответственно. Хотя средние одинаковы, середина и ширина промежутка результатов различаются. Значит, одинаковая сумма не означает одинакового распределения данных.

Типичные ошибки

Нельзя выбирать медиану по исходному порядку чисел: случайная запись не указывает на середину набора. Эту ошибку допускают, когда принимают средний по месту элемент строки за центральный. Перед вычислением отсортируй значения и пересчитай элементы от края; при чётном количестве отдельно проверь два центральных числа.

При вычислении среднего арифметического сумму делят на число всех наблюдений, а не на число разных значений или удобный делитель. Иначе результат будет отвечать не исходному набору данных. Для проверки пересчитай количество элементов и убедись, что именно на него делишь сумму.

Размах — это разность максимума и минимума, а не их сумма. Ошибка возникает, если воспринимать размах как общее количество крайних значений, не обращая внимания на слово «разность». Проверь порядок вычитания: из наибольшего значения вычитают наименьшее, поэтому размах не бывает отрицательным.

Мода — не просто любое число, которое встречается несколько раз, а значение с наибольшей частотой. Можно назвать моду, не сравнив её частоту с частотами других чисел. Составь подсчёт появлений и проверь, что выбранное значение встречается не реже любого другого; при равенстве максимальных частот укажи все моды.

Связь с другими темами

Для работы с характеристиками нужны действия с натуральными, целыми и дробными числами, сравнение значений и умение упорядочивать последовательности. Среднее арифметическое опирается на знакомое деление суммы на количество. Эти характеристики применяют при анализе оценок, результатов измерений, опросов и экспериментов. Позже данные представляют в таблицах частот и на диаграммах, а те же способы рассуждения помогают проводить статистические исследования и обрабатывать результаты.

Что запомнить

• Среднее арифметическое равно сумме данных, делённой на их количество.
• Размах равен разности максимального и минимального значений.
• Мода — наиболее часто встречающееся значение.
• Медиану находят только после упорядочивания данных.
• При нечётном количестве данных медиана — одно центральное значение.
• При чётном количестве данных медиана — среднее двух центральных значений.