"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Действительные числа — это все числа, которые можно отметить точками на числовой прямой. К ним относятся рациональные числа, представимые дробью m/n, и иррациональные, не представимые такой дробью. Рациональные числа имеют конечную или бесконечную периодическую десятичную запись, а иррациональные — бесконечную непериодическую. Понимание этой классификации нужно для работы с корнями, уравнениями, неравенствами и функциями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Например, 4 = 4/1, а −3/5 уже записано в нужном виде. Это определение помогает быстро распознавать целые числа и обычные дроби как элементы одного множества.
Иррациональное число — действительное число, которое нельзя представить в виде дроби целых чисел. Его десятичная запись бесконечна и не имеет повторяющегося периода, например у √2. Такое определение нужно, чтобы отличать числа вроде √7 от рациональных дробей.
Действительное число — любое рациональное или иррациональное число. Оно изображается единственной точкой числовой прямой, поэтому действительные числа можно сравнивать и располагать по порядку. Это самое широкое множество чисел, изучаемое в школьной алгебре.
Бесконечная периодическая десятичная дробь — запись, в которой после запятой повторяется одна и та же конечная группа цифр. В записи 0,272727… периодом является 27, а многоточие показывает его бесконечное повторение. Такие дроби важны потому, что, несмотря на бесконечную запись, они являются рациональными.
Дроби целых чисел образуют рациональные числа, потому что для них заранее задан общий вид m/n. Одно и то же число может иметь разные записи: 1/2 = 2/4 = 0,5, поскольку значение дроби не меняется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число. Поэтому рациональным считается не отдельная запись, а само число.
Связь рациональных чисел с десятичными дробями объясняется делением числителя на знаменатель. Если деление заканчивается, получается конечная десятичная дробь, например 3/4 = 0,75. Если остатки начинают повторяться, цифры тоже повторяются, и получается бесконечная периодическая запись, например 1/3 = 0,333…
Не каждое действительное число рационально, потому что существуют бесконечные десятичные записи без периода. К ним относится десятичная запись числа √2: после запятой цифры продолжаются бесконечно и не образуют повторяющуюся группу. Если бы такая запись соответствовала дроби, деление целых чисел давало бы конечную или периодическую запись, поэтому √2 не может быть рациональным.
Рациональные и иррациональные числа не пересекаются, но вместе образуют множество действительных чисел. Рациональные числа дают все конечные и периодические десятичные значения, а иррациональные дополняют их числами с непериодическими записями. Поэтому любое действительное число относится ровно к одному из этих двух видов.
Числовая прямая связывает абстрактные числа с точками. Сначала выбирают начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление, после чего числу сопоставляют точку на нужном расстоянии от нуля. Каждому действительному числу соответствует единственная точка, и каждой точке числовой прямой — единственное действительное число.
| Признак | Рациональные числа | Иррациональные числа | Действительные числа |
|---|---|---|---|
| Как представляются | Дробью m/n | Не представляются дробью целых чисел | Рациональными или иррациональными |
| Десятичная запись | Конечная или бесконечная периодическая | Бесконечная непериодическая | Конечная, периодическая или непериодическая |
| Примеры | −2, 1/3, 0,75 | √2, √7, π | −2, 1/3, √2, π |
| Связь между множествами | Два непересекающихся вида чисел | Объединение рациональных и иррациональных чисел | |
Пользуйтесь таблицей как проверочным алгоритмом: сначала определите вид десятичной записи или возможность представить число дробью. Затем установите, к какому подмножеству оно относится. В последней колонке видно, что любое рациональное или иррациональное число является действительным.
Задача 1. Определите, какие из чисел 4, −3/5, 0, √7 являются рациональными, а какие — иррациональными. Нужно проверить возможность записи каждого числа в виде дроби целых чисел. Целые числа и обычные дроби сразу подходят под определение рационального числа.
Ответ: 4, −3/5 и 0 — рациональные числа; √7 — иррациональное число.
Задача 2. Запишите 0,272727… в виде обыкновенной дроби. Период состоит из двух цифр, поэтому удобно умножить равенство на 100, чтобы одинаковые бесконечные части оказались по разные стороны.
Ответ: 0,272727… = 3/11. Полученный результат подтверждает, что бесконечная периодическая дробь рациональна.
Задача 3. Укажите, между какими соседними целыми числами находится √7, и объясните, почему это число иррационально. Сравним 7 с квадратами целых чисел, расположенных рядом.
Ответ: √7 находится между 2 и 3 и является иррациональным числом.
Считать, что всякая бесконечная десятичная дробь иррациональна, — ошибка. Бесконечная периодическая дробь рациональна: например, 0,333… = 1/3. Проверяйте, повторяется ли после запятой одна и та же группа цифр.
Рациональное число не следует путать с целым. Целые числа составляют только часть рациональных, куда также входят дроби 2/7 и −5/3. Для проверки попробуйте представить число в виде m/n.
Нельзя считать, что корень из любого числа иррационален. Например, √9 = 3 = 3/1, поэтому этот корень рационален. Сначала выясните, является ли подкоренное число квадратом целого числа.
Некоторые думают, что рациональные и иррациональные числа не заполняют всю числовую прямую. На самом деле вместе они образуют множество действительных чисел. Если точка лежит на обычной числовой прямой, ей соответствует действительное число.
До изучения темы нужны навыки работы с целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями, сравнения чисел и координатной прямой. Эти знания позволяют распознавать рациональные записи и отмечать числа на прямой. Понятие действительного числа далее используется при решении уравнений и неравенств, изучении числовых промежутков и функций.
Чем рациональное число отличается от иррационального?
Рациональное число можно представить в виде дроби m/n, где m — целое, а n — натуральное. Иррациональное число нельзя записать такой дробью; его десятичная запись бесконечна и непериодична.
Почему число 0 является рациональным?
Ноль можно представить в виде дроби 0/1, где числитель целый, а знаменатель натуральный. Поэтому 0 относится к рациональным числам.
Может ли бесконечная десятичная дробь быть рациональной?
Да, если её цифры образуют повторяющийся период. Например, 0,272727… = 3/11, поэтому эта бесконечная дробь рациональна.
Как понять, является ли квадратный корень рациональным?
Если подкоренное число является квадратом целого числа, корень рационален: √9 = 3. Во многих других случаях корень иррационален, например √7 нельзя представить дробью целых чисел.
Почему действительные числа связывают с точками числовой прямой?
Числовая прямая позволяет расположить действительные числа в порядке возрастания и сравнивать их. Каждому действительному числу соответствует единственная точка, и каждой точке соответствует единственное число.
1.1. Понятие действительного числа
