§ 1. Действительные числа

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, 3/8, −5 = −5/1 и 0,7 = 7/10 рациональны. Такая форма позволяет работать с числами с помощью обычных действий над дробями.

Иррациональное число нельзя представить дробью m/n с целыми m и n и ненулевым n. К таким числам относятся √2 и π. Их нельзя записать точно конечной или периодической десятичной дробью, поэтому в вычислениях часто используют приближения.

Действительное число — любое рациональное или иррациональное число. Множество действительных чисел объединяет все числа, встречающиеся при измерениях, вычислениях и решении большинства школьных задач. Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой.

Числовая прямая — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Началу соответствует число 0, точка на единицу правее — число 1, а точки левее начала имеют отрицательные координаты. Такая модель помогает изображать, сравнивать и объединять числа.

Как это устроено

Рациональное число при делении числителя на знаменатель даёт конечную или бесконечную периодическую десятичную дробь. Конечная запись получается, например, у 3/8 = 0,375, а периодическая — у 1/3 = 0,(3). Если после запятой цифры не заканчиваются и не образуют повторяющийся блок, запись соответствует иррациональному числу.

Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел, потому что любое число на обычной числовой прямой относится к одному из этих двух видов. Между двумя различными точками прямой можно найти и рациональные, и иррациональные числа. Поэтому числовая прямая непрерывна: на ней нет «пустых мест» между действительными числами.

Чтобы сравнить действительные числа, достаточно посмотреть на их расположение относительно начала отсчёта. Число, точка которого находится правее, больше, потому что положительное направление прямой выбрано слева направо. Например, −1 < 0 < 2, а из чисел −3 и −5 больше −3, так как оно расположено правее.

Иррациональное число можно находить приближённо, ограничивая его между известными числами. Например, 4 < 5 < 9, поэтому 2 < √5 < 3; более точная проверка даёт 2,2² = 4,84 и 2,3² = 5,29, значит, 2,2 < √5 < 2,3. Чем уже такой промежуток, тем точнее можно отметить число на прямой.

Координаты концов задают числовой промежуток — множество чисел между этими концами. Запись [a; b] означает a ≤ x ≤ b, а (a; b) — a < x < b; смешанные скобки включают только один конец. Промежуток [−2; 3) содержит числа от −2 включительно до 3, не включая 3.

Рациональные и иррациональные числа

Сначала определите, можно ли записать число дробью целых чисел. Если удобнее смотреть на десятичную запись, ищите конечность или повторяющийся период. Последняя строка напоминает: оба вида чисел являются действительными и изображаются на одной числовой прямой.

Разбор задач

Задача 1

Определите, какие из чисел 3/8, −5, 0,7, √3 рациональны, а какие иррациональны. Проверим каждое число по определению, а не только по внешнему виду записи.

1. 3/8 уже является дробью целых чисел, поэтому это рациональное число.
2. −5 = −5/1, а 0,7 = 7/10, значит, −5 и 0,7 тоже рациональны.
3. √3 нельзя представить дробью целых чисел, поскольку 3 не является квадратом целого числа; это иррациональное число.

Ответ: 3/8, −5 и 0,7 — рациональные; √3 — иррациональное.

Задача 2

Сравните √5 и 2,3. Оба числа положительны, поэтому можно сравнить их квадраты: при возведении неотрицательных чисел в квадрат порядок сохраняется.

1. Вычислим квадрат десятичного числа: 2,3² = 5,29.
2. Квадрат числа √5 равен 5.
3. Так как 5 < 5,29, то √5 < 2,3.

Ответ: √5 < 2,3.

Задача 3

Изобразите на числовой прямой промежуток [−2; 3) и запишите условие для входящих в него чисел. Квадратная скобка у −2 включает эту точку, а круглая у 3 исключает её.

1. Отметьте на прямой точки −2 и 3.
2. Точку −2 обозначьте закрашенной, а точку 3 — незакрашенной; соедините их частью прямой.
3. Переведите запись в неравенство: левый конец включён, правый не включён.

Ответ: промежуток [−2; 3) задаётся условием −2 ≤ x < 3.

Типичные ошибки

Бесконечная дробь обязательно иррациональна. Это неверно: 0,(6) бесконечна, но периодична и равна 2/3. Проверяйте, повторяется ли после запятой один и тот же блок цифр.

Корень из любого числа иррационален. Ошибка возникает из-за смешения обычного и квадратного корня. Если подкоренное число — точный квадрат, например √9 = 3, результат рационален; проверяйте, есть ли целое число, квадрат которого равен подкоренному.

Неверное сравнение по прямой. Иногда путают отрицательные числа и считают −5 больше −2. Представьте направление стрелкой: точка правее всегда соответствует большему числу.

Путаница со скобками. Круглая скобка исключает конец, квадратная включает его. Чтобы проверить запись, замените её неравенством: [a; b] даёт a ≤ x ≤ b, а (a; b) — a < x < b.

Связь с другими темами

Для изучения действительных чисел нужны навыки работы с целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями, а также координатной прямой. Эти числа используются при решении уравнений и неравенств, исследовании функций и построении их графиков. Числовые промежутки особенно важны при записи множества решений и области определения функции.

Что запомнить

• Любое рациональное число можно представить дробью целых чисел с ненулевым знаменателем.
• Десятичная запись рационального числа конечна или периодична.
• Иррациональное число нельзя представить дробью целых чисел.
• Действительные числа состоят из рациональных и иррациональных чисел.
• Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой.
• На числовой прямой больше то число, которое расположено правее.
• Квадратная скобка включает конец промежутка, круглая — исключает.