§ 2. Действительные числа

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0. Например, −4 = −4/1 и 2/5 — рациональные числа. Дробная запись позволяет описать и целые числа, и части целого. Множество рациональных чисел обозначают Q.

Иррациональное число — действительное число, которое нельзя представить в виде дроби m/n с целыми m и n, где n ≠ 0. Например, √2 и π не являются отношениями целых чисел. Они нужны, чтобы описывать величины, которые не выражаются обыкновенной дробью. Их десятичная запись бесконечна и не имеет периода.

Действительное число — рациональное или иррациональное число; множество всех таких чисел обозначают R. Например, −3 и √2 — оба действительные числа, хотя относятся к разным частям множества. Так объединяют числа, которым можно поставить в соответствие точки прямой. Поэтому при решении задач с величинами обычно рассматривают именно множество R.

Числовая прямая — прямая с выбранными началом отсчёта, положительным направлением и единичным отрезком. Каждому действительному числу на ней соответствует точка, а каждой точке — число. Это позволяет наглядно сравнивать числа и видеть их порядок. Начало отсчёта соответствует нулю, а положительное направление обычно выбирают вправо.

Как это устроено

Десятичная запись рационального числа либо заканчивается, либо после некоторого места повторяет одну и ту же группу цифр. Причина в том, что при делении целых чисел остаток может принимать лишь конечное число значений: если деление не заканчивается, остаток рано или поздно повторится, а вместе с ним повторятся цифры частного. Например, 1/4 = 0,25, а 1/3 = 0,333… . Поэтому бесконечность записи сама по себе не означает иррациональность.

Действительные числа состоят из рациональных и иррациональных: эти части не пересекаются, но вместе дают все числа, расположенные на прямой. Натуральные числа входят в целые, целые — в рациональные, а рациональные — в действительные: например, 5 — натуральное, целое, рациональное и действительное число. При этом 2/5 рационально, но не целое, а √2 действительно, но не рационально. Такое включение множеств помогает точно определить, к какому классу относится число.

Чтобы расположить числа на прямой, выбирают ноль и единичный отрезок: положительные числа идут вправо, отрицательные — влево. Чем больше число, тем правее его точка, потому что при движении вправо значения координат возрастают. Например, −2 находится левее −1, а 3 — правее 1. Так числовая прямая превращает сравнение чисел в сравнение положения точек.

Сравнивать числа можно по их десятичным записям, если привести их к одинаковому виду. Сначала учитывают знак: любое отрицательное число меньше любого положительного. У неотрицательных чисел сравнивают целые части, а затем цифры после запятой слева направо; конечную запись при необходимости дополняют нулями. Например, 1,7 = 1,70, поэтому 1,703 > 1,700.

Иррациональное число часто находят приближённо: вычисляют несколько его десятичных знаков или ограничивают его между удобными числами. Например, 2,2² = 4,84, а 2,3² = 5,29, значит 2,2 < √5 < 2,3. Это верно, потому что квадрат положительного числа возрастает вместе с самим числом. Чем точнее нужны границы, тем больше знаков после запятой проверяют.

Числовые множества и их признаки

Пользуйтесь таблицей, чтобы определить, входит ли число в выбранное множество и как множества соотносятся друг с другом. Например, целое число −3 одновременно рациональное и действительное. Учитывайте принятую здесь договорённость: ноль не включён в натуральные числа.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие из чисел −3, 0, 2/5, √7 рациональны, а какие иррациональны. Проверим, можно ли записать каждое число как дробь целых чисел с ненулевым знаменателем. Важно не спутать отсутствие дробной части с принадлежностью к отдельному множеству. Ответы обоснуем для каждого числа.

1. −3 = −3/1, поэтому это рациональное число.
2. 0 = 0/1, поэтому ноль тоже рационален.
3. 2/5 уже записано как отношение целых чисел; это рациональное число.
4. √7 нельзя представить отношением целых чисел, поэтому это иррациональное число.

Ответ: −3, 0 и 2/5 — рациональные числа; √7 — иррациональное.

Задача 2. Сравните √3 и 1,7. Оба числа положительны, поэтому можно сравнить их квадраты: при возведении положительных чисел в квадрат порядок сохраняется. Вычислим квадрат десятичного числа и сопоставим его с подкоренным числом. Такой способ даёт строгое сравнение без необходимости находить все цифры √3.

1. Возведём десятичное число в квадрат: 1,7² = 2,89.
2. Так как 2,89 < 3, то 1,7² < (√3)².
3. Оба сравниваемых числа положительны, значит 1,7 < √3.

Ответ: √3 > 1,7. Приближённо √3 ≈ 1,732, что согласуется с результатом.

Задача 3. Расположите по возрастанию −√2, −1,3, 0, 4/3 и √2. Сначала оценим величины, которые удобно представить приближённо: √2 ≈ 1,414, а 4/3 = 1,333… . При смене знака у корня его модуль остаётся тем же, но число оказывается левее нуля. Затем сопоставим отрицательные и положительные числа отдельно.

1. Поскольку √2 ≈ 1,414, получаем −√2 ≈ −1,414, а значит −√2 < −1,3.
2. Оба отрицательных числа меньше нуля, поэтому за ними следует 0.
3. Среди положительных чисел 4/3 ≈ 1,333 меньше √2 ≈ 1,414.
4. Соединим части порядка: отрицательные числа, ноль, положительные числа.

Ответ: −√2 < −1,3 < 0 < 4/3 < √2.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любую бесконечную десятичную дробь иррациональной. Её допускают, потому что иррациональные записи действительно бесконечны, но забывают о периодических дробях: например, 0,333… = 1/3. Проверяйте, повторяется ли группа цифр начиная с некоторого места. Если запись бесконечна и периодична, число рационально.

Ошибка: принимать все рациональные числа за целые. Это происходит, когда запоминают, что целые числа можно записать дробью, но делают неверный вывод в обратную сторону. Например, 2/5 — рациональное, но не целое число. Для проверки выясните, можно ли представить число целым без изменения его значения.

Ошибка: считать, что √a всегда иррационально. Знак корня сам по себе этого не гарантирует: √9 = 3, а 3 — целое и рациональное число. Проверяйте, является ли подкоренное число квадратом подходящего числа. Если корень вычисляется точно, результат может быть рациональным.

Ошибка: сравнивать отрицательные числа только по модулю и забывать направление порядка. Например, модуль −5 больше модуля −2, но −5 < −2, потому что точка −5 расположена левее. Отметьте числа на прямой или добавьте к ним одинаковое число, чтобы проверить сравнение. Для двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Связь с другими темами

Для работы с действительными числами нужны знания о целых числах, обыкновенных и десятичных дробях, а также правила сравнения чисел. Числовая прямая и приближённые значения помогают задавать и понимать неравенства и числовые промежутки. Действительные числа используются при задании областей определения функций, а также при решении уравнений и неравенств. Поэтому умение различать множества чисел пригодится во многих темах курса.

Что запомнить

• Любое рациональное число можно записать в виде m/n, где m и n — целые, n ≠ 0.
• Рациональная десятичная дробь конечна или бесконечна периодична.
• Иррациональная десятичная дробь бесконечна и непериодична.
• Каждое действительное число является рациональным или иррациональным.
• Каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой.
• На числовой прямой большее число расположено правее меньшего.