"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Целые числа включают ноль, натуральные числа и числа, противоположные натуральным. Рациональные числа — это все числа, которые можно записать дробью с целым числителем и натуральным знаменателем. Поэтому любое целое число рационально, но не всякое рациональное число целое. В параграфе важно разобраться, как распознавать рациональные числа по десятичной записи и находить целую часть, особенно у отрицательных чисел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целое число — это натуральное число, противоположное ему число или ноль. Множество всех целых чисел обозначают ℤ: оно включает числа …, −2, −1, 0, 1, 2, … . Целые числа нужны, чтобы записывать не только количество, но и противоположные направления, например долг и изменение температуры.
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число. Множество рациональных чисел обозначают ℚ. Такое определение объединяет целые числа и дроби, поэтому позволяет работать с ними как с частями одного числового множества.
Целая часть числа x — наибольшее целое число, не превосходящее x; её обозначают [x]. Например, [3,7] = 3, а [−1,2] = −2. Скобки здесь не означают округление: целую часть выбирают по условию «не больше числа», а округляют обычно до ближайшего целого.
Натуральных чисел недостаточно, чтобы записать результат вычитания, если уменьшаемое меньше вычитаемого: например, разность 3 − 5 не является натуральным числом. Введение отрицательных чисел позволяет указать, что результат на два меньше нуля, и записать его как −2. Вместе с нулём и натуральными числами отрицательные числа образуют множество ℤ.
Дроби m/n образуют множество рациональных чисел, потому что они описывают результат деления целого числа m на натуральное число n. При этом целые числа не приходится исключать или считать отдельным случаем: любое целое k можно записать как k/1. Поэтому множество целых чисел входит в множество рациональных: ℤ ⊂ ℚ.
Одна рациональная дробь может иметь разные записи, поскольку умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число не меняет их отношение. Например, 1/2 = 2/4 = 5/10. Обратное действие — деление обоих членов дроби на их общий делитель — помогает получить более короткую запись, в частности несократимую дробь.
По десятичной записи рациональное число можно узнать по конечному или повторяющемуся набору цифр. Конечную запись, например 0,375, можно превратить в дробь со знаменателем 1000, а затем сократить. У всякой рациональной дроби десятичная запись заканчивается или становится периодической: при делении остатки повторяются, и вслед за ними повторяются цифры. Поэтому бесконечная непериодическая десятичная запись рациональным числом не является.
На положительных числах целая часть совпадает с числом до запятой: [4,6] = 4. Для отрицательных чисел нужно искать целое, которое расположено не правее данного числа на числовой прямой, то есть не превосходит его. Число −1,2 находится между −2 и −1, поэтому наибольшее целое, не превосходящее его, — −2: [−1,2] = −2.
| Характеристика | Целые числа ℤ | Рациональные числа ℚ |
|---|---|---|
| Какие числа входят в множество | Натуральные числа, противоположные им числа и ноль | Числа, представимые в виде m/n, где m ∈ ℤ, n ∈ ℕ |
| Способ записи | Без дробной части: −3, 0, 8 | В виде обыкновенной дроби или равной ей десятичной записи |
| Примеры | −3, 0, 8 | −3, 2/5, 1,25, 0,(3) |
| Связь множеств | Каждое целое число входит в ℚ | Содержит целые числа и числа, не являющиеся целыми |
Сначала выясните, подходит ли число под определение целого, а затем — можно ли представить его дробью m/n. Таблица показывает, что целые числа являются частью рациональных, поэтому для любого числа из ℤ можно поставить отметку и в столбце ℚ. Дроби и десятичные числа вроде 2/5 и 1,25 рациональны, но не целы.
Задача 1. Расположите числа −3, 0, 4, −2/5, 1,25 и 0,(3) по множествам ℤ и ℚ. Сначала проверим, какие числа не имеют дробной части и потому являются целыми. Затем используем тот факт, что каждое целое число рационально, а дроби и конечные или периодические десятичные записи тоже рациональны.
Ответ: ℤ: −3, 0, 4; ℚ: −3, 0, 4, −2/5, 1,25, 0,(3).
Задача 2. Запишите число 0,375 в виде несократимой дроби. Три цифры после запятой означают, что число выражено в тысячных, поэтому сначала знаменателем будет 1000. После записи дроби проверим, можно ли разделить числитель и знаменатель на общий делитель.
Ответ: 0,375 = 3/8.
Задача 3. Найдите целую часть числа −7/3 и объясните результат. Сначала оценим дробь: −7/3 = −2 и ещё −1/3, то есть она находится между −3 и −2. Из этих соседних целых подходит наибольшее число, которое не превосходит дробь.
Ответ: [−7/3] = −3.
Можно решить, что ноль всегда относится к натуральным числам, но соглашения о составе ℕ различаются: в одних случаях ноль включают, в других — нет. Ошибка возникает, если не уточнить, какое обозначение принято в конкретном учебном изложении. Для проверки отдельно посмотрите, дано ли определение натуральных чисел; при этом ноль в любом случае является целым числом.
Иногда множества ℤ и ℚ считают одинаковыми, потому что целые числа входят в рациональные. Но включение ℤ ⊂ ℚ не означает равенства множеств: например, 2/5 рационально, но не целое. Проверяйте, можно ли представить число целым без остатка, а не только записать его дробью.
Бесконечную десятичную запись могут ошибочно признать рациональной только потому, что у неё бесконечно много цифр. Рациональными являются не все такие записи, а лишь периодические; остальные бесконечные записи могут быть непериодическими. Проверьте, повторяется ли некоторый блок цифр постоянно, а не просто встречается несколько раз.
Для отрицательного числа иногда берут целую часть, двигаясь к нулю, и получают, например, [−1,2] = −1. Это ошибка: −1 больше −1,2 и потому не удовлетворяет условию «не превосходит». Сравните число с двумя соседними целыми и выберите меньшее из тех, что подходят; здесь это −2.
Для этой темы нужны знания о натуральных числах, обыкновенных и десятичных дробях, сравнении чисел и действиях с дробями. Рациональные числа встречаются при решении уравнений и неравенств, а также при преобразовании выражений: дробную часть вычислений часто приходится записывать именно так. Целая часть помогает работать с числовыми промежутками и оценивать значения выражений, когда требуется определить целое число, не превосходящее заданную величину.
Почему любое целое число считается рациональным?
Любое целое число k можно представить дробью k/1. Числитель целый, а знаменатель — натуральное число, поэтому такая дробь отвечает определению рационального числа.
Как понять, является ли бесконечная десятичная дробь рациональной?
Нужно проверить, повторяется ли в ней некоторый блок цифр бесконечно. Периодическая бесконечная дробь рациональна, а бесконечная непериодическая — нет.
Почему одну и ту же рациональную дробь можно записать по-разному?
Если умножить или разделить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число, значение дроби сохранится. Например, 1/2 = 2/4.
Чем целая часть отрицательного числа отличается от округления?
Целая часть — это наибольшее целое число, которое не превосходит исходное. Для −1,2 это −2, а не −1: округление к ближайшему целому здесь дало бы другое число.
Может ли число быть рациональным, но не целым?
Да. Например, 2/5 — рациональное число, потому что оно записано отношением целого числа к натуральному, но целым не является.
§ 1. Целые и рациональные числа
