Целые и рациональные числа

Определения и обозначения

Целое число — это элемент множества ℤ, в которое входят отрицательные числа, нуль и положительные числа. Например, −4, 0 и 9 — целые числа, а ½ — нет. Это понятие позволяет работать с числами по обе стороны от нуля, не ограничиваясь натуральным счётом.

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — ненулевое целое число. Например, 3/5 и −7/2 подходят под определение. Оно объединяет целые числа и дробные части, возникающие, например, при делении.

Множество рациональных чисел обозначают ℚ: буква напоминает о слове «quotient» — частное. В ℚ входят все числа, представимые отношением целых чисел, в том числе все целые. Обозначение помогает коротко указывать, к какому числовому множеству принадлежит результат.

Периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная запись, в которой одна и та же группа цифр повторяется после запятой; эту группу называют периодом. Например, 0,(27) = 0,272727… . Конечная десятичная дробь тоже рациональна: её можно записать обыкновенной дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее.

Как это устроено

Натуральных чисел достаточно, чтобы считать предметы, но ими нельзя записать, например, температуру ниже нуля или результат вычитания 5 − 8. Поэтому к натуральным добавляют нуль и противоположные им отрицательные числа. Так получают целые числа: для каждого положительного целого есть отрицательное число с той же величиной, например 6 и −6.

Целое число не требует дробной части, но его всё равно можно записать как частное. Для любого целого a верно a = a/1, а единица — ненулевое целое число. Значит, каждое целое удовлетворяет определению рационального числа, и целые числа целиком входят в ℚ.

Запись m/n показывает отношение двух целых чисел: m — числитель, n — знаменатель. Знаменатель не может равняться нулю, потому что дробь означает деление, а делить на нуль нельзя: не существует числа, которое при умножении на нуль давало бы ненулевой числитель. Нулевой числитель допустим, если знаменатель ненулевой: например, 0/5 = 0.

Если выполнить деление числителя на знаменатель, рациональное число получает десятичную запись. Она либо заканчивается, как 3/8 = 0,375, либо становится бесконечной с повторяющимся периодом, как 1/3 = 0,333… . Причина периодичности в том, что при делении с остатком возможны лишь конечное число остатков: остаток либо станет нулём, либо начнёт повторяться, а вместе с ним повторятся цифры.

Множества чисел вложены одно в другое: сначала идут натуральные числа, затем целые, а затем рациональные, то есть ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Каждый переход расширяет возможности записи: в ℤ появляются нуль и отрицательные числа, а в ℚ — дроби. Поэтому принадлежность более узкому множеству автоматически означает принадлежность и более широким: например, натуральное число также целое и рациональное.

Сравнение натуральных, целых и рациональных чисел

Сравнивайте столбцы по строкам: так видно, какие числа добавляются при переходе к более широкому множеству. Например, число −3 не натуральное, но целое и рациональное. Представление в виде m/n возможно для чисел каждого из трёх множеств, однако для ℚ это условие является определяющим.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие из чисел −7, 0, 4 и 2/3 являются целыми и какие — рациональными. Сначала проверим каждое число по определению целого, затем отдельно отметим рациональные. Целые числа входят в рациональные, поэтому найденные целые тоже надо включить во второй список.

1. −7 — отрицательное целое число, значит, оно целое; запись −7/1 показывает, что оно и рациональное.
2. 0 входит в ℤ, а 0 = 0/1, поэтому нуль также рационален.
3. 4 — положительное целое число и одновременно дробь 4/1, следовательно, рациональное.
4. 2/3 — отношение целых чисел с ненулевым знаменателем, значит, это рациональное, но не целое число.

Ответ: целые числа — −7, 0, 4; рациональные — −7, 0, 4, 2/3.

Задача 2. Представьте −5 в виде дроби со знаменателем 1, а 0,375 — в виде обыкновенной дроби. Для целого числа используем правило a = a/1, а для конечной десятичной дроби учитываем число знаков после запятой. Затем сокращаем дробь, если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число.

1. Записываем −5 как −5/1. Знаменатель равен 1 и не равен нулю, поэтому представление допустимо.
2. В числе 0,375 три цифры после запятой, значит, 0,375 = 375/1000.
3. Делим числитель и знаменатель на 125: 375/1000 = 3/8.

Ответ: −5 = −5/1; 0,375 = 3/8.

Задача 3. Запишите 0,(27) в виде обыкновенной дроби и укажите числовые множества, которым принадлежит результат. Повторяющийся период удобно убрать вычитанием: сначала обозначим число переменной, а затем умножим на такую степень 10, чтобы период оказался перед запятой.

1. Пусть x = 0,272727… . Период состоит из двух цифр, поэтому умножаем на 100: 100x = 27,272727… .
2. Вычитаем из второго равенства первое: 100x − x = 27,272727… − 0,272727… . Повторяющиеся части совпадают и сокращаются, получаем 99x = 27.
3. Делим на 99: x = 27/99 = 3/11. Это дробь из целых чисел с ненулевым знаменателем.

Ответ: 0,(27) = 3/11 — рациональное число; целым и натуральным оно не является.

Типичные ошибки

Нуль иногда пропускают в списке целых чисел, потому что его не считают ни положительным, ни отрицательным. Но ℤ включает не только эти две группы: нуль записывают между ними. Проверьте себя по схеме «отрицательные — нуль — положительные».

Можно ошибочно принять число с дробной записью за нерациональное, хотя дробная форма часто как раз подтверждает рациональность. Сверяйте числитель и знаменатель с определением: оба должны быть целыми, а знаменатель — ненулевым. Например, 2/3 рационально независимо от того, является ли оно целым.

Иногда в дроби допускают знаменатель 0, перенося на неё правила обычного деления. Однако деление на нуль не определено, поэтому такая запись не является допустимым представлением рационального числа. Перед выводом о принадлежности ℚ всегда проверяйте знаменатель.

Конечную десятичную дробь могут принять за бесконечную непериодическую только из-за наличия запятой. Конечность записи означает, что её можно представить дробью со знаменателем 10 в некоторой степени: например, 0,4 = 4/10. Если сомневаетесь, переведите десятичную запись в обыкновенную дробь.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны знания о натуральных числах, обыкновенных и десятичных дробях, а также понимание деления. Рациональные числа встречаются при сравнении величин, действиях с дробями и решении уравнений, когда ответом может быть не целое число. Вложенность ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ помогает подготовиться к изучению действительных чисел и числовой прямой. На прямой удобно изображать числа, сравнивать их и видеть положение относительно нуля.

Что запомнить

• Целые числа включают отрицательные числа, нуль и положительные числа.
• Рациональное число можно представить в виде m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0.
• Каждое целое число является рациональным.
• Натуральные числа входят в множество целых, а целые — в множество рациональных.
• Десятичная запись рационального числа конечна или бесконечна периодична.
• Нулевой знаменатель в дроби недопустим.