"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Действительные числа — это все числа, которые можно расположить на числовой прямой: рациональные и иррациональные. Рациональные выражаются дробью целых чисел, а иррациональные — нет; их десятичная запись бесконечна и не имеет периода. Такое объединение нужно, чтобы описывать результаты измерений, сравнивать любые числа и задавать координаты точек. Главное — научиться распознавать виды чисел и понимать их взаимное расположение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональным называют число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, 5 = 5/1, а −2/3 уже записано как такая дробь. Это определение позволяет объединить целые числа и обыкновенные дроби в одно множество. Проверка представимости дробью помогает отличить рациональное число от иррационального.
Иррациональное число нельзя представить в виде дроби m/n с целыми m и n и ненулевым n. К таким числам относятся √2 и π. Их нельзя точно записать конечной или периодической десятичной дробью, хотя можно находить всё более точные приближения. Это понятие нужно, чтобы описывать числа, которые возникают, например, при измерениях, но не выражаются отношением целых чисел.
Действительными называют все рациональные и все иррациональные числа. Иными словами, к действительным относятся и числа вроде 3/7, и числа вроде √5; других видов чисел в этом множестве нет. Такое объединение позволяет работать с результатами измерений и вычислений в рамках одной системы. Обычно действительные числа обозначают буквой R.
Числовая прямая — это прямая, точкам которой взаимно однозначно соответствуют действительные числа. Взаимно однозначное соответствие означает, что каждому числу отвечает одна точка и каждой точке отвечает одно число. На прямой выбирают начало отсчёта, направление и единичный отрезок. Тогда число показывает положение точки относительно начала отсчёта.
Множество рациональных чисел расширяет множество целых, потому что к целым добавляются дробные части. Любое целое число можно записать как дробь со знаменателем 1, например −4 = −4/1, поэтому целые входят в рациональные. При этом дробь 3/7 — рациональная, но не целая. Расширение нужно, когда одних целых чисел недостаточно, например для записи части целого или результата деления.
Десятичная запись рационального числа либо заканчивается, либо повторяет некоторую группу цифр. Причина в том, что при делении целых чисел остаток может принимать лишь конечное число значений: если деление не завершается, остаток рано или поздно повторится, а вместе с ним повторятся цифры частного. Например, 1/4 = 0,25, а 1/3 = 0,333… . У иррационального числа запись не заканчивается и не повторяется периодом, иначе её можно было бы выразить обыкновенной дробью.
Иррациональные числа появляются и в задачах на измерение. Если сторона квадрата равна 1, то по теореме Пифагора квадрат диагонали равен 1² + 1² = 2, а сама диагональ равна √2. Это число нельзя точно выразить дробью целых чисел, хотя его можно приближённо измерить или записать, например, как 1,414… . Значит, одних рациональных чисел недостаточно, чтобы описывать все длины.
Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел и не пересекаются: число либо представимо дробью целых чисел, либо нет. Поэтому всякое действительное число относится ровно к одной из этих двух групп. Рациональные числа включают целые и дробные, а иррациональные дополняют их до множества всех действительных чисел. Благодаря этому можно единообразно описывать числа, встречающиеся в алгебре и геометрии.
Соответствие с числовой прямой связывает вычисления с наглядным расположением чисел. Нулю соответствует начало отсчёта, положительным числам — точки справа от него, отрицательным — слева. Если число больше другого, его точка расположена правее: например, −1 < 2. Между любыми двумя различными действительными числами можно найти рациональное и иррациональное число, поэтому на прямой нет соседних действительных точек.
| Множество | Определение или признак | Примеры | Десятичная запись |
|---|---|---|---|
| Рациональные числа | Представляются дробью m/n, где m и n — целые, n ≠ 0 | −4, 3/7, 0,121212… | Конечная или бесконечная периодическая |
| Иррациональные числа | Не представляются такой дробью | √2, π, √5 | Бесконечная непериодическая |
| Действительные числа | Все рациональные и иррациональные числа | −4, 3/7, √2, π | Конечная, периодическая или бесконечная непериодическая |
Чтобы классифицировать число, сначала проверьте, представимо ли оно дробью целых чисел; для десятичной записи выясните, заканчивается ли она или повторяется ли период. Помните, что таблица описывает три множества, причём рациональные и иррациональные вместе составляют действительные числа. Примеры помогают проверить признак, но сами по себе не заменяют определение.
Ответ: рациональные числа — −4, 0, 3/7, 0,121212…; иррациональное — √5. Главный приём — проверять возможность представления дробью, а периодическая запись сразу указывает на рациональность.
Ответ: 0,3(18) = 7/22, это рациональное действительное число. При вычитании одинаковые бесконечные хвосты сокращаются — поэтому способ работает.
Ответ: √7 < 8/3; слева направо числа расположены в порядке √7, 8/3. Сравнение квадратов удобно именно потому, что оба исходных числа положительны.
Ошибка — считать любое бесконечное десятичное число иррациональным. Так думают, потому что запись не заканчивается, но рациональная дробь тоже может иметь бесконечную запись: 1/3 = 0,333… . Проверьте, повторяется ли в ней постоянная группа цифр. Если запись периодическая, число рационально.
Иногда непериодическую запись путают с периодической, у которой повтор ещё не заметили. Для иррациональности важно не просто отсутствие очевидного повтора в нескольких цифрах, а отсутствие периода во всей бесконечной записи. По конечному приближению нельзя надёжно установить этот признак. Проверяйте известный вид числа или используйте доказательство, как для √2.
Неверно считать, что корень из любого числа иррационален. Например, √9 = 3, а 3 — целое и рациональное число; квадратный корень из полного квадрата может быть рациональным. Возведите предполагаемый ответ в квадрат и проверьте равенство. Сам знак корня ещё не определяет, к какому множеству относится число.
Нельзя полагать, что между двумя соседними рациональными числами стоят только иррациональные. Между любыми двумя различными действительными числами найдутся и рациональные, и иррациональные числа. Например, между 1 и 2 есть рациональное 3/2 и иррациональное √2. Проверка конкретным примером помогает заметить, что на числовой прямой множества не чередуются отдельными соседними точками.
Для этой темы нужны знания о целых числах, обыкновенных и десятичных дробях, а также о сравнении чисел. Они позволяют проверять, можно ли записать число дробью и где оно расположено на прямой. В геометрии длины и координаты точек могут иметь как рациональные, так и иррациональные значения, например диагональ единичного квадрата равна √2. Понятие действительного числа понадобится при изучении числовых промежутков, уравнений и неравенств, функций и их областей определения.
Любое ли бесконечное десятичное число является иррациональным?
Нет. Бесконечная десятичная запись рационального числа периодична: в ней повторяется одна и та же группа цифр. Иррациональная запись бесконечна и непериодична.
Почему √2 — иррациональное число?
Если бы √2 можно было записать как несократимую дробь m/n, то из равенства m² = 2n² следовало бы, что m чётное. После подстановки m = 2k выяснилось бы, что и n чётное, хотя дробь была несократимой. Это противоречие, поэтому √2 иррационально.
Может ли число быть одновременно рациональным и иррациональным?
Нет. Рациональные числа можно представить дробью целых чисел с ненулевым знаменателем, а иррациональные нельзя. Эти множества не имеют общих чисел.
Как понять, является ли периодическая десятичная дробь рациональной?
Любая периодическая десятичная дробь рациональна: её можно представить в виде обыкновенной дроби. Например, 0,333… = 1/3. Для нахождения дроби удобно обозначить число через x и составить уравнение умножением на степень десяти.
Как действительные числа связаны с точками числовой прямой?
Каждому действительному числу соответствует ровно одна точка числовой прямой, и каждой точке — ровно одно действительное число. Чем правее расположена точка, тем больше соответствующее ей число.
Действительные числа
