§ 1. Действительные числа

Определения и обозначения

Натуральные числа — числа, используемые при счёте: 1, 2, 3 и так далее. Их множество обозначают N. В разных соглашениях нуль либо не включают в N, либо записывают N = {0, 1, 2, …}, поэтому это нужно уточнять.

Целые числа включают натуральные числа, нуль и противоположные натуральным числа: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …. Множество целых обозначают Z. Оно нужно, когда при вычитании результатом становится отрицательное число.

Рациональное число можно представить дробью m/n, где m — целое, а n — натуральное; равносильно требуют n ≠ 0. Множество рациональных чисел обозначают Q. В десятичной записи такие числа имеют конечный или бесконечный периодический вид.

Иррациональные числа нельзя представить дробью m/n. Их объединение с рациональными образует множество действительных чисел R, то есть R = Q ∪ множество иррациональных чисел. Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой.

Как это устроено

Натуральных чисел недостаточно для вычитания: из 3 нельзя вычесть 5, оставаясь в N. Поэтому добавили нуль и отрицательные числа и получили множество Z, в котором разность любых двух целых чисел снова является целым числом. Так числовая система стала удобнее для вычислений.

Дробь m/n означает деление целого m на ненулевое число n. При делении десятичный алгоритм либо заканчивается, если остаток стал нулём, либо остатки начинают повторяться; во втором случае повторяются и цифры. Поэтому рациональная дробь даёт конечную или периодическую десятичную запись.

Иррациональное число распознают по бесконечной непериодической десятичной записи. У него нет такого блока цифр, который постоянно повторяется. Например, √2 и π нельзя точно записать дробью двух целых чисел, хотя их можно приближённо вычислять.

Числовые множества вложены друг в друга: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Натуральное число одновременно является целым, рациональным и действительным, потому что его можно записать как дробь n/1. Поэтому принадлежность большему множеству не отменяет принадлежности меньшим.

Числовая прямая задаёт наглядную модель множества R. Выбирают начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок, после чего каждому числу соответствует одна точка. Чем правее расположена точка, тем больше соответствующее число.

Числовые множества и их взаимосвязь

Таблицу удобно читать сначала по определению, а затем проверять вид десятичной записи и положение множества в цепочке вложений. Чтобы найти наименьшее множество для числа, выбирайте самый узкий подходящий ряд таблицы. Например, 5 — натуральное число, хотя одновременно оно целое, рациональное и действительное.

Разбор задач

Задача 1

Распределим числа −7, 0, 3/5, 2, √5 и 0,(3) по множествам и укажем для каждого наименьшее множество. Нуль относим к целым, поскольку используем соглашение N = {1, 2, 3, …}. Для дроби 0,(3) учитываем периодическую запись.

1. −7 не является натуральным, но является целым, значит, также рациональным и действительным. Наименьшее множество — Z.
2. 0 является целым, рациональным и действительным. При выбранном соглашении наименьшее множество — Z.
3. 3/5 — рациональное число, но не целое. Наименьшее множество — Q.
4. 2 — натуральное число, а значит, одновременно целое, рациональное и действительное. Наименьшее множество — N.
5. √5 имеет бесконечную непериодическую запись, поэтому является иррациональным и действительным. Наименьшее множество — множество иррациональных чисел.
6. 0,(3) — бесконечная периодическая дробь: 0,(3) = 1/3. Наименьшее множество — Q.

Ответ: −7 ∈ Z, 0 ∈ Z, 3/5 ∈ Q, 2 ∈ N, √5 — иррациональное, 0,(3) ∈ Q.

Задача 2

Докажем иррациональность √3 от противного. Затем представим конечную десятичную дробь 0,125 в виде обыкновенной. Такой подход показывает не только ответ, но и причину принадлежности чисел разным множествам.

1. Предположим, что √3 = m/n, где дробь несократима, а n ≠ 0. После возведения в квадрат получаем m²/n² = 3, то есть m² = 3n².
2. Из равенства следует, что m² делится на 3, значит, m делится на 3: m = 3k. Подстановка даёт 9k² = 3n², откуда n² = 3k² и n тоже делится на 3.
3. Получили, что m и n имеют общий делитель 3, хотя дробь была несократимой. Противоречие доказывает, что √3 иррационально.
4. 0,125 = 125/1000 = 1/8. Это дробь вида m/n, поэтому 0,125 рационально.

Ответ: √3 — иррациональное число, а 0,125 — рациональное.

Задача 3

Сравним √5 и 9/4 без десятичных приближений. Оба числа положительны, поэтому при возведении в квадрат знак сравнения сохраняется. После сравнения квадратов отметим числа на прямой в правильном порядке.

1. Возводим числа в квадрат: (√5)² = 5, а (9/4)² = 81/16.
2. Представим 5 со знаменателем 16: 5 = 80/16. Так как 80/16 < 81/16, получаем 5 < 81/16.
3. Следовательно, √5 < 9/4. На числовой прямой сначала отмечают √5, затем 9/4; обе точки находятся правее нуля.

Ответ: √5 < 9/4; порядок слева направо: 0, √5, 9/4.

Типичные ошибки

Считать нуль натуральным всегда. Ошибка появляется из-за разных соглашений в учебниках. Проверьте, как определено N в условии, и при необходимости отдельно запишите состав множества.

Называть любую бесконечную дробь иррациональной. Бесконечная периодическая дробь рациональна, например 0,(3) = 1/3. Ищите повторяющийся блок цифр, а не только сам факт бесконечности.

Считать отрицательную дробь нерациональной. Знак не определяет вид числа: −7/3 представляется дробью двух целых чисел и является рациональным. Проверьте возможность записи m/n, где n ≠ 0.

Считать √a всегда иррациональным. Если a — полный квадрат, корень может быть целым: √9 = 3. Перед выводом проверьте, является ли подкоренное число квадратом целого числа.

Связь с другими темами

Перед изучением действительных чисел полезно повторить обыкновенные и десятичные дроби, отрицательные числа, степени и квадратный корень. Рациональные и иррациональные числа встречаются в уравнениях и неравенствах с корнями. Числовая прямая и множество R понадобятся при изучении функций, промежутков, пределов и непрерывности.

Что запомнить

• N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
• Рациональное число представляется дробью m/n, где m — целое, а n ≠ 0.
• Конечная или периодическая десятичная дробь рациональна.
• Бесконечная непериодическая десятичная дробь иррациональна.
• R состоит из рациональных и иррациональных чисел.
• Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой.