1. Действительные числа и бесконечные десятичные дроби

Определения и обозначения

Действительное число — число, которому соответствует точка на координатной прямой. Множество действительных чисел обозначают буквой R и делят на рациональные и иррациональные. Это понятие нужно, чтобы описывать все числа, встречающиеся в алгебре, а не только целые или дроби.

Рациональное число — число вида m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Его десятичная запись либо заканчивается, либо содержит повторяющийся период. Рациональные числа нужны для точной записи результатов деления и вычислений с обыкновенными дробями.

Иррациональное число — действительное число, которое нельзя представить отношением двух целых чисел. В десятичной записи такого числа цифры бесконечны и не образуют постоянного периода, например √2 = 1,414213… . Иррациональные числа позволяют точно описывать длины и величины, которые не выражаются обычной дробью.

Бесконечная десятичная дробь — запись числа с бесконечным количеством цифр после запятой. Она бывает периодической, как 0,272727…, или непериодической, как 1,414213… . Различие между этими видами помогает определить, является число рациональным или иррациональным.

Как это устроено

Числовые множества расширяются по мере того, как появляются новые задачи. Натуральных чисел недостаточно для вычитания, поэтому добавляют отрицательные и получают целые; целых недостаточно для точного деления, поэтому вводят рациональные. После добавления иррациональных чисел получают действительные числа, то есть полный набор точек координатной прямой.

При делении целого числителя на знаменатель в каждом шаге появляется остаток. Остатков меньше знаменателя, поэтому либо остаток становится нулём и запись заканчивается, либо один из остатков повторяется. Повторившийся остаток приводит к повторению тех же цифр, поэтому рациональная дробь имеет конечную или периодическую запись.

Если цифры после запятой бесконечны и не повторяются по постоянному правилу, такая запись не может соответствовать дроби m/n. Иначе при делении m на n набор остатков был бы конечным, а значит, некоторый остаток повторился бы. Поэтому бесконечная непериодическая десятичная дробь задаёт иррациональное число.

Конечную дробь можно дописать нулями справа, не меняя её значения: 0,5 = 0,5000… . Но существует и запись с девятками: 0,5 = 0,4999…, потому что 0,5000… − 0,4999… = 0. Значит, две десятичные записи могут соответствовать одной точке, хотя в обычном сравнении выбирают более удобную запись.

Десятичные числа сравнивают слева направо, сопоставляя цифры одинаковых разрядов. Если целые части равны, сравнивают десятые, затем сотые, тысячные и так далее; первая отличающаяся цифра определяет результат. На координатной прямой большее число располагается правее меньшего, поэтому сравнение записей сразу показывает порядок точек.

Классификация действительных чисел и их десятичные записи

Таблица показывает, как связаны основные числовые множества и виды записи. Действительные числа включают все перечисленные группы, а рациональные и иррациональные вместе образуют их разбиение. По виду десятичной записи часто можно быстро определить, к какому множеству относится число.

Разбор задач

Задача 1

Определить, какие из чисел 0,75; 0,333…; √2; 1,010010001… являются рациональными, а какие иррациональными. Сначала нужно распознать вид записи, а затем применить признак рациональности. Само наличие бесконечного числа цифр ещё ничего не решает.

1. 0,75 — конечная десятичная дробь, значит, это рациональное число: 0,75 = 75/100.
2. 0,333… — бесконечная периодическая дробь с периодом 3, поэтому она рациональна: 0,333… = ⅓.
3. √2 — иррациональное число; его десятичная запись бесконечна и непериодична.
4. В записи 1,010010001… группы нулей и единиц меняются, постоянного периода нет, поэтому число иррационально.

Ответ: рациональные числа — 0,75 и 0,333…; иррациональные — √2 и 1,010010001… .

Задача 2

Представить дробь 7/12 в виде бесконечной периодической десятичной дроби, а число 2,4(17) — в виде обыкновенной дроби. В первой части удобно выполнить деление, во второй — убрать период умножением. Такой порядок показывает, как работают оба направления преобразования.

1. Делим 7 на 12: 7/12 = 0,583333… = 0,58(3).
2. Пусть x = 2,4(17) = 2,4171717… . Период имеет две цифры, а перед ним после запятой стоит одна цифра.
3. Умножаем на 10: 10x = 24,171717… . Затем умножаем на 1000: 1000x = 2417,171717… .
4. Вычитаем первое равенство из второго: 990x = 2393, поэтому x = 2393/990.

Ответ: 7/12 = 0,58(3); 2,4(17) = 2393/990.

Задача 3

Сравнить 0,7(12) и 0,7121…, а также расположить на координатной прямой √2, 1,41 и 1,5. Периодическую запись сначала раскрываем по цифрам, а иррациональное число заменяем подходящим приближением. Сравнивать нужно цифры одинаковых разрядов.

1. 0,7(12) = 0,712121… , а второе число равно 0,712100… . Первые три цифры после запятой совпадают, но в четвёртом разряде 1 > 0, значит, 0,7(12) > 0,7121… .
2. √2 ≈ 1,4142…, поэтому 1,41 < √2.
3. Так как √2 ≈ 1,4142… < 1,5, получаем порядок 1,41 < √2 < 1,5.

Ответ: 0,7(12) > 0,7121…; на прямой слева направо расположены 1,41, √2, 1,5.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любую бесконечную десятичную дробь иррациональной. Периодическая дробь рациональна, потому что получается из деления двух целых чисел; проверьте, повторяется ли постоянная группа цифр.

Ошибка — принять первые цифры после запятой за период. Периодом является наименьшая группа, которая повторяется бесконечно, поэтому нужно продолжить запись и проверить повторение.

Ошибка — забыть о двух записях конечной дроби. Например, 0,25 = 0,25000… = 0,24999…; при проверке полезно помнить, что последний ненулевой разряд можно заменить предыдущим на единицу меньше и бесконечными девятками.

Ошибка — сравнивать дроби по длине записи или без выравнивания разрядов. Допишите нули справа и сопоставляйте десятые с десятыми, сотые с сотыми и так далее; первая отличающаяся цифра даст верный результат.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны натуральные и целые числа, обыкновенные дроби, деление с остатком, десятичная запись и координатная прямая. Эти знания позволяют понимать происхождение периодов и положение чисел на оси. Без них трудно уверенно преобразовывать и сравнивать записи.

Действительные числа используются при преобразовании выражений, сравнении величин и приближённых вычислениях. Иррациональные результаты часто записывают через корни или десятичные приближения. Это помогает сохранять точность и одновременно оценивать величину ответа.

Дальше тема понадобится при изучении корней, степеней, функций, пределов и числовых неравенств. Во всех этих разделах приходится сравнивать числа и учитывать их область значений. Координатная прямая связывает вычисления с наглядным расположением величин.

Что запомнить

• Действительные числа состоят из рациональных и иррациональных чисел.
• Рациональное число имеет конечную или бесконечную периодическую десятичную запись.
• Иррациональное число имеет бесконечную непериодическую десятичную запись.
• Любое действительное число изображается единственной точкой на координатной прямой.
• Конечную десятичную дробь можно продолжить нулями.
• Десятичные записи 0,5000… и 0,4999… обозначают одно и то же число.
• При сравнении десятичных дробей нужно последовательно сравнивать цифры одинаковых разрядов.