2. Рациональные и иррациональные числа

Определения и обозначения

Рациональное число — число, представимое в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число. В более общем виде достаточно требовать n ≠ 0, потому что деление на ноль невозможно. Это определение позволяет распознавать рациональные числа не только среди обычных дробей, но и среди целых чисел и конечных десятичных дробей.

Иррациональное число — действительное число, которое нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Его десятичная запись бесконечна и не имеет периода. Такое определение нужно, чтобы отличать, например, √2 от дроби 3/2, даже если их приближённые значения похожи.

Действительное число — любое рациональное или иррациональное число, изображаемое точкой на числовой прямой. Обозначают множество действительных чисел буквой R. Это широкое числовое множество, в котором можно выполнять сравнение и большинство привычных арифметических действий.

Периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная дробь, в которой одна или несколько цифр повторяются с некоторого места. Повторяющуюся группу называют периодом и записывают в скобках: 0,(27) означает 0,272727… Такие дроби являются рациональными, хотя их запись бесконечна.

Как это устроено

Числовые множества расширяются постепенно: натуральные числа входят в целые, целые — в рациональные, а рациональные и иррациональные вместе образуют действительные числа. При каждом расширении появляются числа, которых раньше не хватало для выполнения действий. Например, целые числа позволяют вычитать большее из меньшего, а рациональные — делить одно целое число на другое, кроме деления на ноль.

При делении числителя на знаменатель в каждом шаге возникает один из остатков, меньших знаменателя. Остатков конечное число, поэтому либо остаток станет нулём и десятичная запись закончится, либо какой-то остаток повторится. После повторения остатка повторяются и следующие цифры, значит, дробь становится периодической: например, 1/3 = 0,(3).

Иррациональные числа существуют, потому что не каждую длину или величину можно выразить отношением целых чисел. Докажем это для √2: предположим, что √2 = m/n, где дробь несократима. После возведения в квадрат получаем m² = 2n², поэтому m² чётно и m чётно; подставив m = 2k, получаем n² = 2k², значит, n тоже чётно, что противоречит несократимости дроби.

Рациональные и иррациональные числа располагаются на одной числовой прямой. Рациональной точке соответствует дробь или конечная запись, а иррациональной — бесконечная непериодическая запись. Между любыми двумя различными действительными числами есть другие действительные числа, и каждой точке прямой соответствует единственное действительное число.

Рациональные числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения: если a и b рациональны, то a + b, a − b и ab также можно представить дробями. Частное a/b рационально при b ≠ 0, поскольку деление дробей снова даёт дробь. Для иррациональных чисел такой гарантии нет: √2 + (−√2) = 0, а √2 · √2 = 2, поэтому результат может оказаться рациональным.

Сравнение рациональных и иррациональных чисел

В таблице удобно сначала проверить определение, а затем вид десятичной записи. Если число не удаётся представить дробью, но оно является действительным, его относят к иррациональным. Последняя строка показывает, как каждое множество связано с более широким множеством действительных чисел.

Разбор задач

Задача 1. Определить вид чисел

Определим, какие из чисел 0,125; 0,(27); √9; √2 рациональны, а какие иррациональны. Нужно использовать не приближённое значение, а точный признак. Для десятичных дробей это вид записи, а для корней — является ли подкоренное число полным квадратом.

1. 0,125 — конечная десятичная дробь, поэтому она рациональна: 0,125 = 125/1000 = 1/8.
2. 0,(27) — бесконечная периодическая дробь, значит, она рациональна: 0,(27) = 27/99 = 3/11.
3. √9 = 3, а целое число рационально. Число √2 иррационально, потому что 2 не является квадратом целого числа.

Ответ: рациональны 0,125, 0,(27) и √9. Иррационально число √2. Проверка основана на точных свойствах, поэтому округление здесь не требуется.

Задача 2. Доказать иррациональность √3

Предположим, что √3 рационально. Тогда его можно представить несократимой дробью m/n, где m и n — целые, n ≠ 0. Получим противоречие с тем, что дробь была выбрана несократимой.

1. Из √3 = m/n после возведения в квадрат следует m² = 3n². Значит, m² делится на 3, а тогда и m делится на 3; запишем m = 3k.
2. Подставляем: 9k² = 3n², поэтому n² = 3k². Следовательно, n также делится на 3.
3. И числитель, и знаменатель делятся на 3, хотя дробь m/n несократима. Противоречие означает, что исходное предположение неверно.

Ответ: √3 — иррациональное число. Такой способ называется доказательством от противного: невозможность предположения доказывает противоположное утверждение.

Задача 3. Доказать иррациональность √2 + √3

Пусть сумма √2 + √3 рациональна и обозначим её через r. Квадрат суммы раскроем так, чтобы выделить корень √6. Затем получим, что иррациональное число должно быть рациональным.

1. Возводим равенство в квадрат: r² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6.
2. Отсюда √6 = (r² − 5)/2. Правая часть рациональна, потому что r рационально, а действия с рациональными числами сохраняют рациональность.
3. Но √6 иррационально, так как 6 не является квадратом целого числа. Получили противоречие.

Ответ: √2 + √3 иррационально. Здесь важно сначала предположить рациональность суммы, а затем вывести невозможное следствие.

Типичные ошибки

Считать любую бесконечную десятичную дробь иррациональной — ошибка, потому что периодическая дробь рациональна. Её допускают, когда обращают внимание только на бесконечность записи. Проверьте, повторяется ли блок цифр: у 0,(6) период есть.

Путать иррациональное число с дробью, у которой нельзя выполнить деление, тоже неверно. Иррациональные числа существуют, но их десятичная запись бесконечна и непериодична. Если деление не завершилось сразу, продолжите его и проверьте появление повторяющегося остатка.

Нельзя утверждать, что сумма или произведение двух иррациональных чисел всегда иррациональны. Например, √2 · √2 = 2, а √2 + (−√2) = 0. После действия упростите выражение и только затем определяйте его вид.

Иррациональное число нельзя без проверки записывать дробью с целыми числителем и знаменателем. Приближённая запись вроде √2 ≈ 1,414 не является точным представлением. Уточните, конечна или периодична десятичная запись: только тогда число рационально.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны действия с обыкновенными дробями, признаки делимости, степени и квадратные корни. Эти знания используются в доказательствах и преобразованиях выражений. Понятие числовых множеств помогает решать уравнения и неравенства с корнями. Действительные числа также необходимы при работе с числовой прямой, функциями, пределами и приближёнными вычислениями.

Что запомнить

• Рациональное число представляется в виде m/n, где m — целое, а n ≠ 0.
• Рациональная десятичная дробь конечна или периодична.
• Иррациональная десятичная дробь бесконечна и непериодична.
• Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел.
• Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой.
• Сумма, разность и произведение иррациональных чисел не обязаны быть иррациональными.
• √n иррационально, если n не является квадратом целого числа.