3. Числовые множества и операции над ними

Определения и обозначения

Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее; множество обозначают N. В одних соглашениях 0 тоже включают в N, а в других начинают счёт с 1. Поэтому при работе с задачей следует проверить, какое определение принято.

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и нуль; множество обозначают Z. Например, к Z относятся −3, 0 и 8. Целые числа нужны, когда счёт должен учитывать не только количество, но и направление изменения, например долг или температуру ниже нуля.

Рациональные числа — числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n ≠ 0; множество обозначают Q. Например, 3/5 и −7 являются рациональными, потому что −7 = −7/1. Такая запись позволяет работать с частями целого и точно выражать результаты деления.

Иррациональные числа нельзя представить дробью m/n с целыми m и ненулевым n. Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел R. К действительным относятся все числа, которые можно отметить точкой на числовой прямой; например, √2 — иррациональное, но действительное число.

Как это устроено

Числовые множества вложены друг в друга: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Это значит, что любое натуральное число является целым, рациональным и действительным, но обратное утверждение неверно. Расширение нужно потому, что в N нельзя записать вычитание 3 − 5, в Z нельзя выполнить деление 1 : 2 без выхода за множество, а в Q не хватает чисел вроде √2. Новые множества сохраняют прежние числа и позволяют описывать больше результатов.

Чтобы проверить, рационально ли число, сначала смотрят на его десятичную запись. Конечная десятичная дробь представляется дробью со знаменателем 10, 100 и так далее, поэтому она рациональна; например, 0,25 = 1/4. Бесконечная периодическая запись тоже рациональна, поскольку повторяющийся блок можно выразить обыкновенной дробью. Бесконечная непериодическая запись означает иррациональное число.

Операции над множествами помогают точно описывать условия, которым должны удовлетворять элементы. Объединение A ∪ B собирает всё, что принадлежит A или B, пересечение A ∩ B оставляет только общее, а разность A \ B исключает из A элементы B. Дополнение — это элементы универсального множества, не попавшие в заданное множество; без указания универсального множества его нельзя определить однозначно. Эти операции удобно применять, например, когда нужно объединить несколько условий или оставить числа, удовлетворяющие им одновременно.

Числовой промежуток — множество чисел, расположенных между указанными границами. Если нужно взять числа, принадлежащие хотя бы одному из двух промежутков, находят их объединение; если нужны числа, удовлетворяющие обоим ограничениям, находят пересечение. Квадратная скобка указывает, что конец включён, а круглая — что он исключён. Например, [1; 4) содержит 1, но не содержит 4, и эту проверку нужно выполнять отдельно для каждой границы.

Множество замкнуто относительно операции, если результат этой операции над его элементами снова принадлежит этому множеству. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения, но не деления: 1 и 2 целые, а 1/2 — нет. Рациональные числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения, а также деления на ненулевое рациональное число. Натуральные числа при вычитании или делении могут выйти за своё множество: 2 − 5 = −3, а 1 : 2 = 1/2.

Основные числовые множества и их свойства

Сначала определите, к какому множеству относится число по его записи, затем используйте цепочку вложений: принадлежность меньшему множеству означает принадлежность всем следующим. Для иррациональных чисел полезно отдельно помнить, что они входят в R, но не входят в Q. Обозначение N требует осторожности из-за разных соглашений о нуле.

Разбор задач

Задача 1

Определить, к каким числовым множествам принадлежат −7, 0, 3/5, √2 и 0,121212… . Важно не просто узнать знакомые числа, а проверить каждый вид записи и после этого применить вложение множеств. Для 0 отдельно учитываем принятое соглашение о натуральных числах.

1. Число −7 целое, так как оно отрицательное и не имеет дробной части. Оно также рациональное: −7 = −7/1, и потому действительное.

2. Число 0 целое, рациональное (0 = 0/1) и действительное. В N оно входит только в тех соглашениях, где нуль считается натуральным.

3. Число 3/5 уже записано как отношение целых чисел с ненулевым знаменателем. Значит, оно рациональное и действительное.

4. Число √2 иррациональное, а значит, действительное. Десятичная запись 0,121212… периодическая: повторяется блок 12, поэтому число рационально; например, 0,121212… = 12/99 = 4/33.

Ответ: −7 ∈ Z, Q, R; 0 ∈ Z, Q, R и, возможно, N; 3/5 ∈ Q, R; √2 ∈ R \ Q; 0,121212… ∈ Q, R.

Задача 2

Найти объединение и пересечение промежутков (−3; 4] и [1; 7). Объединение должно содержать числа из обоих промежутков, а пересечение — только те, которые одновременно принадлежат каждому из них. Поэтому удобно сначала сравнить границы и выяснить, где отрезки накладываются.

1. Первый промежуток идёт от −3, не включая его, до 4 включительно; второй — от 1 включительно до 7, не включая 7.

2. Вместе промежутки покрывают все числа между −3 и 7. Число −3 не входит в первый промежуток, а 7 не входит во второй, поэтому объединение равно (−3; 7).

3. Общая часть начинается с 1, которое входит во второй промежуток и лежит внутри первого. Она заканчивается числом 4, включённым в первый промежуток и лежащим внутри второго.

Ответ: (−3; 4] ∪ [1; 7) = (−3; 7), а (−3; 4] ∩ [1; 7) = [1; 4].

Задача 3

Пусть A = [−2; 4], B = (1; 6]. Упростить (A ∩ B) ∪ (A \ B) и записать ответ промежутком. Сначала выделим в A ту часть, которая попала в B, а затем ту, которая из B исключена. Эти части не пересекаются и вместе составляют всё A.

1. Общая часть начинается сразу после 1, потому что B не включает 1, и заканчивается на 4, который входит в оба множества. Поэтому A ∩ B = (1; 4].

2. Из A удаляем числа, принадлежащие B: остаётся от −2 до 1 включительно. Число 1 сохраняется, поскольку оно не входит в B, поэтому A \ B = [−2; 1].

3. Объединяем непересекающиеся части [−2; 1] и (1; 4]. Вместе они дают весь промежуток A, без пропусков и повторного включения границы.

Ответ: (A ∩ B) ∪ (A \ B) = [−2; 4].

Типичные ошибки

Считать нуль натуральным без оговорки. Ошибка возникает потому, что обозначения множеств могут различаться в разных источниках. Проверяйте определение N в конкретном учебнике или условии. Если оно не задано, укажите оба возможных соглашения.

Называть любую бесконечную десятичную дробь иррациональной. Периодическая дробь бесконечна, но рациональна: её можно выразить обыкновенной дробью. Ошибку легко допустить, если ориентироваться только на количество цифр. Проверьте, повторяется ли последовательность цифр; например, 0,333… = 1/3.

Путать объединение и пересечение. При пересечении оставляют общие элементы, а при объединении берут элементы хотя бы одного из множеств. Путаница часто появляется из-за сходства слов и значков операций. Для проверки подставьте пробное число: в объединение ему достаточно попасть в одно множество, а в пересечение — в оба.

Неверно выбирать скобку на конце промежутка. Круглая скобка исключает границу, квадратная включает её; при объединении и пересечении граница может перейти из одного множества в результат по-разному. Ошибку допускают, когда записывают ответ только по крайним значениям, не проверяя их принадлежность. Подставьте каждую границу в исходные условия и отдельно решите, входит ли она в ответ.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знакомые свойства натуральных, целых и дробных чисел, умение читать десятичную запись и изображать числа на координатной прямой. Такое представление помогает понимать, какие числа входят в промежуток и где расположены его границы. Позже множества и промежутки применяются при решении неравенств, задании области определения и множества значений функций. Операции над множествами также помогают записывать события в теории вероятностей, условия в математическом анализе и совокупности решений систем.

Что запомнить

• N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

• Рациональное число представляется дробью m/n, где m ∈ Z и n ≠ 0.

• Иррациональные числа входят в множество действительных чисел, но не входят в Q.

• Конечная или периодическая десятичная дробь рациональна.

• Пересечение содержит общие элементы множеств, а объединение — элементы хотя бы одного из них.

• Квадратная скобка означает включение конца промежутка, круглая — невключение.

• Замкнутость операции нужно проверять для конкретного числового множества.