§ 3. Действительные числа

Определения и обозначения

Рациональное число — число, представимое в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Например, −3 = −3/1, а 0,25 = 1/4. Такое представление помогает узнать, относится ли число к рациональным, даже если оно записано не дробью.

Иррациональное число — действительное число, которое нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Примеры таких чисел — √2 и π. Это понятие нужно, чтобы назвать числа, которые не удаётся записать обыкновенной дробью.

Действительное число — любое рациональное или иррациональное число. Значит, к действительным относятся и обычные дроби, и числа вроде √2. Понятие объединяет оба вида чисел и позволяет работать с ними как с элементами одного множества.

Числовая прямая — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением, на которой каждому действительному числу соответствует точка. Начало отсчёта обозначает ноль, а единичный отрезок задаёт расстояние от нуля до единицы. Такая прямая помогает наглядно показывать числа, сравнивать их и находить расстояния между ними.

Как это устроено

Конечная десятичная дробь превращается в обыкновенную: например, 0,25 = 25/100 = 1/4. Бесконечную периодическую запись тоже можно представить дробью, потому что повторяющийся блок цифр позволяет составить равенство и найти её значение. Поэтому рациональные числа имеют конечную или периодическую десятичную запись. Если бесконечная запись не повторяет цифры одним и тем же блоком, она непериодическая и соответствует иррациональному числу.

Иррациональные числа возникают, например, при измерении диагонали квадрата со стороной 1. По теореме Пифагора квадрат диагонали равен 1² + 1² = 2, поэтому длина диагонали равна √2. Это число лежит между 1 и 2, но не может быть точной обыкновенной дробью. Если предположить, что √2 = m/n и дробь сокращена, то m² = 2n²: отсюда m чётное, а затем и n чётное, что противоречит сокращённости дроби.

Рациональные числа не описывают все возможные длины и значения: пример с диагональю показывает, что нужны и другие числа. Поэтому рациональные и иррациональные числа объединяют в множество действительных чисел. Оно включает, например, целые числа, дроби, конечные и периодические десятичные записи, а также числа с непериодической записью. Так можно говорить обо всех числах, расположенных на обычной числовой прямой.

На прямой каждой точке соответствует ровно одно число: положение задаётся расстоянием от нуля и тем, находится точка справа или слева. Обратно, для любого действительного числа можно отложить его расстояние от нуля в нужном направлении и получить точку. Поэтому соответствие взаимно однозначное: две разные точки не обозначают одно и то же число, и одно число не занимает две точки. Иррациональные числа тоже имеют точное положение, даже если их десятичную запись нельзя выписать целиком.

Чем правее расположена точка, тем больше соответствующее число: например, −1 < 0 < 1/2. Это правило позволяет сравнивать числа независимо от того, записаны они дробью, десятичной записью или корнем. Для положительных чисел можно сравнить квадраты: поскольку 2,3 положительно, из 5 < 2,3² следует √5 < 2,3. При работе с отрицательными числами нужно учитывать направление: −3 находится левее −2 и потому меньше.

Как это устроено

Классификация действительных чисел

Пользуйся таблицей, чтобы определить вид числа по его дробной или десятичной записи. Сначала выясни, конечна ли запись или повторяется ли в ней период; для корня проверь, является ли подкоренное число квадратом целого числа. Любое число из двух средних столбцов относится к действительным.

Разбор задач

Задача 1. Распределить числа −3, 0, 5/7, 0,25, 0,(6), √2 и π на рациональные и иррациональные.

1. Проверяем целые числа: −3 и 0 можно записать как дроби −3/1 и 0/1, значит, они рациональные.
2. Числа 5/7 и 0,25 рациональны: первое уже является дробью, а 0,25 = 25/100 = 1/4.
3. Запись 0,(6) периодическая и равна 2/3, поэтому это рациональное число.
4. √2 нельзя представить дробью целых чисел, а π также иррационально. Значит, эти два числа относятся к иррациональным.

Ответ: рациональные числа — −3, 0, 5/7, 0,25, 0,(6); иррациональные — √2 и π.

Задача 2. Сравнить √5 и 2,3, не вычисляя значение √5 с высокой точностью.

1. Оба числа положительны, поэтому сравнение можно свести к сравнению их квадратов: при возведении положительных чисел в квадрат порядок сохраняется.
2. Квадрат √5 равен 5. Вычисляем квадрат второго числа: 2,3² = 5,29.
3. Так как 5 < 5,29, то и √5 < 2,3. Для проверки можно отметить, что 2,3 лежит правее √5.

Ответ: √5 < 2,3.

Задача 3. Отметить на числовой прямой числа −√3, 1/2 и √2 и расположить их в порядке возрастания.

1. Оценим корни между соседними целыми: 1² < 2 < 2², значит, 1 < √2 < 2. Аналогично, 1² < 3 < 2², поэтому 1 < √3 < 2, а −√3 находится между −2 и −1.
2. Запишем дробь 1/2 как 0,5. Тогда −√3 — отрицательное число, а 0,5 и √2 — положительные; отрицательное число стоит левее положительных.
3. Чтобы сравнить положительные числа, достаточно заметить, что 0,5 < 1, а √2 > 1. Значит, точка 1/2 расположена левее точки √2.

Ответ: −√3 < 1/2 < √2. На прямой отметь числа примерно в точках −1,7, 0,5 и 1,4 соответственно.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать любое бесконечное десятичное число иррациональным. Её допускают, забывая, что цифры после запятой могут повторяться периодом; например, 0,(3) — рациональное число. Проверь, есть ли повторяющийся блок цифр: бесконечная периодическая запись рациональна.

• Ошибка: относить √4 к иррациональным только потому, что в записи есть знак корня. Иногда забывают проверить подкоренное число: √4 = 2, а 2 — целое и рациональное число. Возведи предполагаемое значение корня в квадрат и проверь результат.

• Ошибка: считать действительными только рациональные числа. Так происходит, если название множества связывают только с привычными дробями и целыми числами. Помни, что действительные числа включают также иррациональные; например, √2 тоже имеет точку на числовой прямой.

• Ошибка: неверно сравнивать отрицательные числа и их корни, ориентируясь лишь на модули. Можно забыть, что на прямой меньшее число находится левее: например, −√3 < −1, потому что √3 > 1. Отметь числа на прямой или сначала сравни их модули, затем поменяй порядок для отрицательных.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны навыки работы с целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями, сравнения чисел и понимание квадратного корня. Они помогают узнавать рациональные записи и оценивать положение корней. Действительные числа нужны для работы с числовой прямой и координатами, а также для преобразования выражений с корнями. Позже они встретятся при решении уравнений и неравенств, построении графиков и изучении функций.

Что запомнить

• Рациональное число можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые, n ≠ 0.
• Десятичная запись рационального числа конечна или периодична.
• Иррациональные числа имеют бесконечную непериодическую десятичную запись.
• Действительные числа состоят из рациональных и иррациональных чисел.
• Каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой.
• На числовой прямой большее число расположено правее меньшего.