2.5. Десятичное разложение рациональных чисел

Определения и обозначения

Десятичное разложение рационального числа — запись числа в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Иначе говоря, число записывают с запятой, а его дробная часть состоит из цифр, полученных при делении. Это помогает сравнивать рациональные числа и выполнять с ними вычисления в десятичной форме.

Конечная десятичная дробь — десятичная запись, в которой после запятой имеется конечное число цифр. Например, в записи 0,375 после запятой стоят три цифры. Такая форма удобна, когда деление числителя на знаменатель заканчивается.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — запись, в которой после некоторого места бесконечно повторяется одна и та же группа цифр. Например, в числе 0,58333… после цифр 58 повторяется цифра 3. Это определение позволяет описать десятичную запись, которая не заканчивается, но устроена повторяющимся образом.

Период десятичной дроби — повторяющаяся группа цифр в бесконечной периодической записи. Период записывают в скобках, например 0,(27), или отмечают чертой над повторяющимися цифрами. Обозначение показывает, какие цифры нужно повторять, и отличает их от цифр, стоящих перед периодом.

Как это устроено

Чтобы получить десятичное разложение обыкновенной дроби, раздели числитель на знаменатель. Если деление не заканчивается сразу, после запятой последовательно находят цифры: остаток умножают на 10, делят на знаменатель и записывают полученное целое число. Например, при делении 1 на 3 каждый раз получается цифра 3 и остаток 1, поэтому запись имеет вид 0,(3). Так дробь превращается в десятичную запись шаг за шагом.

Почему возможны только конечная запись или повторение? При делении на знаменатель b остаток всегда целый и меньше b, поэтому вариантов остатка конечное число: от 0 до b − 1. Если остаток стал нулём, новые цифры больше не появляются; если он не нулевой, рано или поздно какой-то остаток встретится повторно. После повторения остатка будут повторяться и все следующие действия деления, а значит, и цифры.

Признак конечной десятичной дроби можно получить из знаменателя. Сократи дробь и разложи знаменатель на простые множители: чтобы деление закончилось, знаменатель должен делить некоторую степень 10. Но 10 = 2 · 5, поэтому в его степенях есть только множители 2 и 5. Значит, знаменатель после сокращения может содержать только эти множители: например, 8 = 2³, и 3/8 = 0,375.

Если в сокращённом знаменателе есть другой простой множитель, он не сможет делить никакую степень 10. Поэтому остаток не станет нулём и деление не завершится. Остатков всё равно конечное число, значит, один из них повторится, а вслед за ним повторятся цифры. Так появляется бесконечная периодическая дробь, например 1/3 = 0,(3).

Периодическую запись можно обратить в обыкновенную дробь с помощью умножения и вычитания. Умножь число на степени 10 так, чтобы в двух равенствах повторяющиеся части совпали после запятой. При вычитании эти бесконечные части исчезнут, и останется уравнение с целыми числами. Решив его, получишь точное значение исходного числа в виде обыкновенной дроби.

Виды десятичных разложений рациональных чисел

Сначала сократи исходную дробь, затем проверь простые множители знаменателя и сравни результат с таблицей. Если дробь конечная, её можно также записать с бесконечным нулевым периодом. Это одна и та же величина, а не два разных числа.

Разбор задач

Представить дробь 3/8 в виде десятичной дроби и определить, является ли запись конечной.

Можно выполнить деление или проверить знаменатель. Здесь 8 = 2³, поэтому знаменатель содержит только множитель 2 и десятичная запись должна быть конечной. Для получения цифр удобно привести дробь к знаменателю 1000, так как 1000 делится на 8.

1. Вычислим 1000 : 8 = 125.
2. Умножим числитель и знаменатель дроби на 125: 3/8 = 375/1000.
3. Запишем тысячные в виде десятичной дроби: 375/1000 = 0,375.

Ответ: 3/8 = 0,375; запись конечная. Проверка по знаменателю совпала с результатом деления: множители знаменателя — только двойки.

Представить дробь 7/12 в виде десятичной дроби и указать её период.

Делим 7 на 12, дописывая нули к остатку. Остаток после получения цифр 58 равен 4, а следующий шаг снова даёт цифру 3 и остаток 4. Значит, дальше будет повторяться тот же шаг, и период начнётся после цифр 58.

1. 12 не содержится в 7, поэтому целая часть равна 0; после запятой рассматриваем 70 : 12 = 5, остаток 10.
2. Умножаем остаток на 10: 100 : 12 = 8, остаток 4.
3. Для следующей цифры получаем 40 : 12 = 3, остаток 4. Остаток повторился, поэтому цифра 3 будет повторяться бесконечно.

Ответ: 7/12 = 0,58(3), период — цифра 3. Можно проверить причину периодичности: 12 = 2² · 3, и в знаменателе после сокращения есть множитель, отличный от 2 и 5.

Представить число 2,1(6) в виде обыкновенной дроби.

Обозначим исходное число через x. В записи одна цифра стоит перед периодом, а период состоит из одной цифры, поэтому умножим x на 10 и на 100. Тогда повторяющиеся части в записях 10x и 100x окажутся одинаковыми после запятой, и их можно убрать вычитанием.

1. Записываем равенства: x = 2,1666…, 10x = 21,666…, 100x = 216,666… .
2. Вычитаем из третьего равенства второе: 100x − 10x = 216,666… − 21,666….
3. Получаем 90x = 195, поэтому x = 195/90 = 13/6.

Ответ: 2,1(6) = 13/6. Дробь сокращена на 15; её десятичная запись действительно начинается с 2,1 и далее повторяет цифру 6.

Типичные ошибки

Ошибка: проверять знаменатель до сокращения дроби. Несокращённый знаменатель может содержать лишние множители 2 или 5, поэтому создаётся впечатление, что запись периодическая. Сначала сократи дробь и только потом разложи знаменатель на простые множители. Для самопроверки убедись, что числитель и знаменатель уже не имеют общего делителя больше 1.

Ошибка: включать в период цифры, которые встречаются только перед повторяющейся группой, или начинать период не с той цифры. Это часто происходит, когда не проверяют повторение остатка при делении. Найди момент, с которого остаток начинает повторяться: цифры после этого момента и составляют период. Например, для 7/12 запись 0,58(3), а не 0,(583).

Ошибка: считать, что конечная дробь не может быть бесконечной. Нули после последней значащей цифры ничего не меняют, поэтому 0,25 = 0,25000… . Путаница возникает из-за того, что запись с нулями выглядит бесконечной, хотя новых значащих цифр не появляется. Проверь значение дроби: дописывание нулей не меняет её.

Ошибка: при переводе периодической дроби умножать на неподходящие степени 10 или вычитать записи с разными периодами. Тогда повторяющиеся части не совпадут и не исчезнут. Сначала выбери степени по числу цифр до периода и в самом периоде, затем запиши равенства так, чтобы справа после запятой стояла одна и та же бесконечная часть. После вычитания проверь, что она действительно сократилась полностью.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны умение сокращать обыкновенные дроби, делить с остатком, раскладывать числа на простые множители и работать со степенями десяти. Эти навыки помогают объяснить не только вычисление десятичной записи, но и появление периода. Десятичные разложения пригодятся при сравнении и вычислениях с рациональными числами, округлении и переходе между дробной и десятичной формами. Позже они помогут изучать действительные числа, приближённые вычисления и числовые выражения.

Что запомнить

• Любое рациональное число имеет конечное или бесконечное периодическое десятичное разложение.
• Конечная запись получается, если после сокращения знаменатель содержит только множители 2 и 5.
• При делении с остатком повторение остатка вызывает повторение цифр.
• Повторяющуюся группу цифр называют периодом.
• Конечную десятичную дробь можно записывать с бесконечным числом нулей после запятой.
• Периодическую десятичную дробь можно преобразовать в обыкновенную дробь.