2.4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби

Определения и обозначения

Периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная дробь, в которой начиная с некоторого места повторяется одна и та же группа цифр. Например, в записи 0,272727… повторяются цифры 27. Это понятие помогает коротко записывать бесконечные результаты деления, не выписывая повторяющиеся цифры снова и снова.

Период десятичной дроби — наименьшая группа цифр, которая повторяется бесконечно; её записывают в скобках, например 0,(3). Скобки показывают, какие именно цифры нужно повторять: 0,(3) означает 0,3333… . Наименьшую группу ищут для того, чтобы не включать в период лишние цифры.

Чисто периодическая десятичная дробь — периодическая дробь, у которой период начинается сразу после запятой. Например, в числе 0,(18) повторение начинается с первой цифры после запятой. Такое название позволяет отличить дробь без начальной непериодической части от дроби, в которой такая часть есть.

Смешанная периодическая десятичная дробь — периодическая дробь, перед периодом которой после запятой стоит одна или несколько цифр. В записи 0,1(6) цифра 1 не повторяется, а группа 6 повторяется бесконечно. Разделение на две части помогает правильно прочитать запись и указать, где начинается повтор.

Как это устроено

При делении числителя на знаменатель в каждом шаге появляется остаток. Если остаток меньше знаменателя, возможны только значения от 0 до числа, на единицу меньшего знаменателя, поэтому вариантов конечное число. Значит, при продолжении деления остатки не могут всё время быть новыми: рано или поздно остаток станет нулём или встретится повторно.

Когда остаток равен нулю, делить дальше нечего: после запятой можно приписать нули, и новые цифры частного не изменятся. Поэтому деление заканчивается и получается конечная десятичная дробь. Если же повторился ненулевой остаток, следующий шаг деления будет таким же, как раньше: при одинаковом остатке снова получится та же цифра и тот же следующий остаток.

Сократим дробь, чтобы устранить множители, которые одновременно были в числителе и знаменателе: именно знаменатель сокращённой дроби определяет возможность конечной записи. Если его разложение состоит только из множителей 2 и 5, его можно дополнить до степени 10, умножив на нужные двойки или пятёрки. Тогда дробь превращается в десятичную с конечным числом знаков, например 3/20 = 15/100 = 0,15. Обратно, знаменатель конечной десятичной дроби после сокращения должен делить число вида 10ⁿ, а в разложении 10ⁿ есть только 2 и 5.

Если в сокращённом знаменателе есть простой множитель, отличный от 2 и 5, конечной запись получить нельзя: такой знаменатель не делит ни одну степень числа 10. Деление продолжается, и остаток повторяется, поэтому десятичная дробь становится периодической. Начало повторения зависит от того, какие остатки встретятся до первого повторного.

Период и цифры перед ним можно понять по последовательности остатков. Каждый остаток определяет следующую цифру частного; когда остаток повторился, дальше повторяется и та же последовательность цифр. Если первый повторился сразу после начала деления, дробь чисто периодическая, а цифры, полученные до него, составляют непериодическую часть смешанной дроби.

Вид десятичного разложения дроби и множители её знаменателя

Сначала приведите дробь к несократимому виду, затем разложите её знаменатель на простые множители и найдите подходящую строку. Для смешанного разложения в знаменателе должны быть и множители 2 или 5, и другие простые множители. Примеры в таблице показывают, как выглядят все три вида записи.

Разбор задач

Деление 1 : 7

Нужно получить десятичную запись дроби 1/7 и указать период. При делении будем записывать остаток после каждого шага, потому что именно его повторение показывает, когда начнётся повтор цифр. Умножаем текущий остаток на 10, делим на 7 и получаем очередную цифру частного.

1. Начальный остаток — 1. 10 : 7 даёт цифру 1, остаток 3.
2. Для остатка 3 получаем 30 : 7 = 4, остаток 2; затем 20 : 7 = 2, остаток 6.
3. Дальше 60 : 7 = 8, остаток 4; 40 : 7 = 5, остаток 5; 50 : 7 = 7, остаток 1.
4. Остаток 1 уже был в начале, значит, дальше последовательность цифр 142857 повторится. Записываем всю повторяющуюся группу в скобках.

Ответ: 1 : 7 = 0,(142857). Период равен 142857. Остаток не стал нулём, поэтому десятичная дробь не конечная.

Вид разложения дроби 7/30

Определим вид разложения без деления столбиком. По условию нужно выбрать между конечной, чисто периодической и смешанной периодической дробью. Для этого достаточно проверить множители знаменателя, но только после сокращения.

1. Числитель и знаменатель 7 и 30 общих делителей, кроме 1, не имеют, поэтому дробь уже сокращена.
2. Разложим знаменатель: 30 = 2 · 3 · 5. Здесь есть множители 2 и 5, а также другой простой множитель — 3.
3. Значит, разложение бесконечно периодическое, а наличие 2 или 5 вместе с 3 указывает на смешанный вид. Проверить запись можно делением: 7/30 = 0,2333… = 0,2(3).

Ответ: дробь 7/30 имеет смешанное периодическое разложение. Цифра 2 перед периодом не повторяется, а период состоит из цифры 3. Для определения вида деление выполнять не требовалось.

Десятичная запись дроби 13/45

Выполним деление и проследим за остатками, чтобы найти цифры до периода и сам период. Начинаем с деления 13 на 45: целая часть равна нулю, поэтому после запятой будем последовательно приписывать нули к остатку. После каждого шага умножаем остаток на 10.

1. 130 : 45 = 2, остаток 40. Первая цифра после запятой — 2.
2. 400 : 45 = 8, остаток 40. Остаток 40 повторился, значит, следующие цифры будут снова восьмёрками.
3. Записываем цифру 2 перед скобками, а повторяющуюся цифру 8 помещаем в скобки.

Ответ: 13/45 = 0,2(8). Период — 8, а цифра 2 составляет непериодическую часть. Повтор остатка 40 объясняет, почему после первой цифры деление каждый раз даёт ту же цифру.

Типичные ошибки

Не сократить дробь перед проверкой множителей знаменателя — значит применить критерий не к той записи дроби. Ошибку допускают, потому что проверяют числа, которые видны в исходном условии, и забывают об общих множителях числителя и знаменателя. Сократите дробь и только потом разложите знаменатель: например, у 3/6 сокращённый знаменатель равен 2, поэтому запись конечная.

Считать несколько подряд повторяющихся цифр периодом без проверки — значит иногда выбрать не наименьшую группу. Например, запись 0,(333) верна, но скобки содержат лишние цифры: достаточно 0,(3). Сравните длину предполагаемого периода с более короткими группами и проверьте, повторяют ли они всю запись.

Называть дробь чисто периодической только потому, что она бесконечная, — ошибка: бесконечность ещё не показывает, где начинается повтор. Перед периодом могут стоять цифры, которые получились до первого повторившегося остатка. Проверьте, начинается ли повтор сразу после запятой; если нет, дробь смешанная.

Записывать период без скобок или захватывать в скобки неповторяющиеся цифры — значит сделать запись неясной или неверной. Так бывает, когда смешивают начало дроби с циклом, который повторяется. Сверьте запись с делением: в скобках должна быть только повторяющаяся группа, а цифры до неё остаются снаружи.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в периодических дробях, нужны деление с остатком, сокращение дробей и разложение натуральных чисел на простые множители. Эти умения позволяют увидеть повтор остатков и применить критерий по знаменателю. Тема связывает обыкновенные дроби с десятичными дробями и рациональными числами: она объясняет, как представить одну и ту же величину в десятичной форме.

Периодическая запись помогает сравнивать рациональные числа и переводить бесконечную десятичную дробь обратно в обыкновенную. Важно правильно различать повторяющуюся часть и цифры перед ней. Без этого можно неверно прочитать число или ошибиться при обратном переводе.

Что запомнить

• При делении обыкновенной дроби остатки определяют, будут ли цифры частного повторяться.
• Нулевой остаток означает, что десятичное разложение конечное.
• Любая бесконечная десятичная дробь, полученная делением целых чисел, периодична.
• Для проверки конечности разложения сначала сократи дробь.
• Сокращённая дробь имеет конечное десятичное разложение тогда и только тогда, когда её знаменатель содержит только множители 2 и 5.
• Период записывают в скобках; цифры перед ним составляют непериодическую часть.