2.3. Периодические десятичные дроби

Определения и обозначения

Периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная дробь, в которой после некоторого разряда цифры или группа цифр повторяются. Например, в записи 0,272727… постоянно повторяется группа 27. Это понятие нужно, чтобы коротко записывать бесконечные результаты деления.

Период дроби — наименьшая группа цифр, бесконечно повторяющаяся в десятичной записи. Период заключают в круглые скобки: 0,272727… = 0,(27). Скобки показывают, какие цифры нужно повторять снова и снова.

Чистая периодическая дробь — дробь, у которой период начинается сразу после запятой. Например, 0,(3) и 1,(25) являются чистыми периодическими дробями. Такое название помогает сразу увидеть, что перед периодом нет неповторяющихся цифр.

Смешанная периодическая дробь — дробь, у которой после запятой сначала записана непериодическая часть, а затем начинается период. Например, 0,1(6): цифра 1 не повторяется, а 6 повторяется бесконечно. Это разделение нужно учитывать при переводе дроби в обыкновенную.

Как это устроено

Периодические дроби часто появляются при делении целых чисел. На каждом шаге деления получают цифру и остаток, причём остаток всегда меньше делителя. Возможных остатков конечное число, поэтому рано или поздно один из них повторится; после этого повторится и весь дальнейший порядок цифр.

Чтобы найти период, нужно смотреть не на отдельные случайные совпадения, а на группу, которая повторяется целиком. В записи 0,272727… после запятой видны циклы 27, 27, 27, поэтому период равен 27. Если взять 2727, это будет не наименьшая группа, а два одинаковых периода.

Граница между непериодической частью и периодом находится там, где начинается постоянное повторение. В числе 0,1454545… цифра 1 не входит в период, потому что она встречается один раз, а группа 45 повторяется. Значит, запись имеет вид 0,1(45) и является смешанной.

Периодическую дробь переводят в обыкновенную так, чтобы две записи после умножения имели одинаковые бесконечные хвосты. Для этого число цифр до периода задаёт первое умножение на степень 10, а длина периода определяет второе. После вычитания одинаковые хвосты исчезают, и остаётся обычное уравнение.

Иногда одно рациональное число имеет две десятичные записи. Например, 0,5000… равно 0,5, а 0,4999… стремится к тому же числу и фактически ему равно. Это не ошибка вычислений, а особенность десятичной записи: конечную дробь можно заменить бесконечной записью с периодом 9.

Виды десятичных дробей и их запись

Таблица помогает сначала определить вид записи, а затем выбрать способ действия. Если после запятой цифры заканчиваются, дробь конечная; если повторение продолжается, ищут период. Для перевода смешанной дроби особенно важно отдельно посчитать цифры до периода и цифры в самом периоде.

Разбор задач

Задача 1. Определить период и вид дроби в записи 0,272727…

Нужно найти самую короткую группу, которая повторяется, и проверить её положение относительно запятой. В записи видны одинаковые блоки 27. Поскольку первый такой блок начинается сразу после запятой, дробь будет чистой.

1. Разделим запись на группы: 0,27 27 27…
2. Выделим наименьшую повторяющуюся группу: 27.
3. Запишем период в скобках: 0,(27).

Ответ: период — 27, дробь чистая, запись — 0,(27).

Задача 2. Представить дробь 0,1(6) в виде обыкновенной дроби

Период состоит из одной цифры, но перед ним есть одна непериодическая цифра. Поэтому сначала нужно сдвинуть запятую за цифру 1, а затем ещё на одну позицию, чтобы периоды совпали.

1. Обозначим дробь через x: x = 0,1(6).
2. Умножим на 10: 10x = 1,(6), а затем на 100: 100x = 16,(6).
3. Вычтем первое равенство из второго: 100x − 10x = 16,(6) − 1,(6), поэтому 90x = 15.
4. Разделим на 90: x = 15/90 = 1/6.

Ответ: 0,1(6) = 1/6.

Задача 3. Представить дробь 2,3(45) в виде обыкновенной дроби

Здесь после запятой одна непериодическая цифра 3, а длина периода 45 равна двум. Значит, сначала сдвигаем запятую на одну позицию, а затем ещё на две, чтобы бесконечные хвосты совпали.

1. Пусть x = 2,3(45). Тогда 10x = 23,(45).
2. Умножим исходное равенство на 1000: 1000x = 2345,(45).
3. Вычтем: 1000x − 10x = 2345,(45) − 23,(45), откуда 990x = 2322.
4. Получим x = 2322/990 = 129/55.
5. Проверим: 129 : 55 = 2,34545… = 2,3(45).

Ответ: 2,3(45) = 129/55. Обратное деление подтверждает результат.

Типичные ошибки

Иногда за период принимают несколько его повторений: вместо 0,(3) пишут 0,(333). Так делают, потому что видят длинный повторяющийся фрагмент и не проверяют, можно ли его сократить. Для проверки разделите фрагмент на одинаковые части и выберите самую короткую.

Другая ошибка — забыть скобки или поставить их не с начала повторения. Записи 0,1(6) и 0,(16) обозначают разные числа, потому что период начинается в разных местах. Проверьте, совпадают ли цифры в скобках с первым полным циклом повторения.

При переводе смешанной дроби часто выбирают неверные степени 10. Если умножить недостаточно, бесконечные хвосты не совпадут и вычитание их не уничтожит. Посчитайте цифры до периода и длину периода, затем проверьте, что после запятой в двух равенствах стоит одинаковый хвост.

Не всякая бесконечная дробь является периодической. Бесконечность записи сама по себе ничего не доказывает: цифры могут не образовывать постоянную группу. Ищите именно повторение одного и того же блока, а не отдельные случайные совпадения.

Связь с другими темами

До этой темы нужны деление с остатком, обыкновенная и десятичная запись рациональных чисел, а также умножение и вычитание равенств. Эти навыки объясняют появление периода и помогают выполнять преобразования без ошибок.

Периодическая десятичная дробь является десятичной записью рационального числа. Поэтому её можно представить обыкновенной дробью, а рациональные числа — сравнивать и записывать разными способами.

Дальше этот материал пригодится при сравнении рациональных чисел, преобразовании дробных выражений и решении уравнений с рациональными коэффициентами. Умение переводить запись из одного вида в другой сокращает вычисления и облегчает проверку ответа.

Что запомнить

• Периодическая дробь имеет бесконечную запись с повторяющейся группой цифр.
• Период — наименьшая повторяющаяся группа цифр.
• Если период начинается сразу после запятой, дробь называют чистой.
• Если перед периодом есть непериодическая часть, дробь называют смешанной.
• Период записывают в круглых скобках.
• Периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.
• При переводе в обыкновенную дробь периоды совмещают умножением на степени 10 и вычитанием.