2.2. Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь

Определения и обозначения

Конечная десятичная дробь — это десятичная дробь, в записи которой после запятой стоит конечное число цифр. Примеры: 0,7; 1,25; 3,004. Такое представление удобно для вычислений, потому что запись числа имеет определённый конец.

Разложить обыкновенную дробь в конечную десятичную дробь — значит представить её равной десятичной дроби с конечной записью. Например, дробь 3/4 можно записать как 0,75. Значение дроби не меняется, меняется только её форма записи.

Несократимая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме 1. Например, 3/8 — несократимая дробь, а 6/8 можно сократить до 3/4. Сокращение нужно, чтобы правильно увидеть простые множители знаменателя.

Разложение дроби в десятичную запись можно выполнить делением числителя на знаменатель. В записи a/b числитель a делят на знаменатель b. Если остаток становится равным нулю, цифры после запятой заканчиваются.

Как это устроено

Если знаменатель равен 10, 100, 1000 и так далее, дробь сразу читается как десятичная. Например, 37/100 = 0,37, потому что 37 сотых — это 0,37, а 5/1000 = 0,005. Нули после запятой показывают разряд, поэтому их нельзя бездумно пропускать в начале десятичной части.

Другой знаменатель можно превратить в степень числа 10. Например, в дроби 3/4 домножим числитель и знаменатель на 25: 3/4 = 75/100 = 0,75. Это возможно, потому что умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число не изменяет значение дроби.

После сокращения дроби её знаменатель должен содержать только множители 2 и 5. Тогда недостающие множители можно добавить до одинаковых степеней двойки и пятёрки, а их произведение даст степень 10. Например, 8 = 2³ можно домножить на 5³ и получить 1000, поэтому дробь со знаменателем 8 имеет конечную запись.

Если в несократимом знаменателе есть простой множитель, отличный от 2 и 5, получить степень 10 домножением нельзя. Например, в знаменателе 12 есть множитель 3, а в 30 — множитель 3, поэтому дроби с такими несократимыми знаменателями конечными не станут. То же видно при делении: остатки не исчезают окончательно, и цифры начинают повторяться или продолжаются бесконечно.

Когда обыкновенная дробь раскладывается в конечную десятичную

Пользуйтесь таблицей после того, как проверите возможность сокращения. Затем разложите новый знаменатель на простые множители и выберите способ: домножение до степени 10 или обычное деление.

Разбор задач

Задача 1. Разложить дробь 7/20 в конечную десятичную дробь

Знаменатель 20 не является степенью 10, поэтому запишем его через множители и подберём дополнительный множитель. Нужно получить 100, так как 20 · 5 = 100. Числитель также умножаем на 5.

1. Домножаем дробь на 5/5: 7/20 = 35/100.
2. Считываем сотые: 35/100 = 0,35.
3. Проверяем признак: 20 = 2² · 5, значит, других простых множителей нет.

Ответ: 7/20 = 0,35.

Задача 2. Определить, имеет ли дробь 13/60 конечную десятичную запись

Сначала проверим, можно ли сократить дробь: 13 не делится на 2, 3 или 5, поэтому общих делителей с 60 нет. Разложим знаменатель: 60 = 2² · 3 · 5. Множитель 3 запрещён признаком конечности.

1. Убеждаемся, что дробь несократима.
2. Раскладываем знаменатель на простые множители: 60 = 2² · 3 · 5.
3. Находим множитель, отличный от 2 и 5: это 3.

Ответ: дробь 13/60 не имеет конечной десятичной записи.

Задача 3. Сравнить дроби 18/45 и 7/30 по возможности конечного разложения

Нельзя проверять исходные знаменатели сразу, потому что первая дробь сокращается. Сначала выполним сокращение, а затем отдельно исследуем обе дроби. Такой порядок исключает ошибочный вывод по лишним множителям.

1. 18/45 = 2/5 = 0,4, поэтому первая дробь раскладывается в конечную десятичную.
2. Дробь 7/30 несократима, а 30 = 2 · 3 · 5.
3. Множитель 3 показывает, что для второй дроби конечного разложения нет.

Ответ: 18/45 = 0,4; дробь 7/30 конечной десятичной записи не имеет.

Типичные ошибки

Проверять знаменатель до сокращения. Общий множитель может скрывать лишний множитель, как в дроби 18/45. Сначала сократите дробь, затем разложите новый знаменатель.

Считать, что знаменатель обязательно должен быть 10, 100 или 1000. Например, 1/8 имеет конечную запись, хотя 8 не является степенью 10. Проверьте, можно ли домножить знаменатель до степени 10.

Полагать, что множителя 2 или 5 уже достаточно. В знаменателе 30 есть и 2, и 5, но также есть 3, поэтому запись не конечна. Ищите все простые множители, а не только один подходящий.

Домножать только знаменатель. Тогда значение дроби изменится. Всегда умножайте числитель и знаменатель на одно и то же число и проверяйте равенство исходной и полученной дробей.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны навыки сокращения дробей и разложения натуральных чисел на простые множители. Она опирается на понимание десятичных дробей и равенства дробей, полученных умножением числителя и знаменателя на одно число. Признак конечности пригодится при сравнении и преобразовании рациональных чисел, а также при решении уравнений и задач с дробями.

Что запомнить

• Перед проверкой дробь нужно сократить.
• Несократимая дробь имеет конечную десятичную запись тогда и только тогда, когда в её знаменателе есть только множители 2 и 5.
• Знаменатель, состоящий только из множителей 2 и 5, можно домножить до степени 10.
• При умножении знаменателя на число числитель умножают на то же число.
• Если в несократимом знаменателе есть простой множитель, отличный от 2 и 5, десятичная запись не конечна.