"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Обыкновенная дробь показывает частное от деления одного целого числа на другое: числитель делят на знаменатель. Дроби нужны, чтобы записывать части целого, результаты измерений и деления. Их можно сокращать, сравнивать и переводить в десятичную форму. Десятичная запись будет конечной, если после сокращения в знаменателе останутся только множители 2 и 5.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обыкновенная дробь — запись вида a/b, где a и b — целые числа, а b ≠ 0. Дробная черта означает деление числа a на число b. Такая запись нужна, чтобы показать часть целого или результат деления.
Числитель — число над дробной чертой. Если целое разделили на равные части, числитель показывает, сколько таких частей взяли. По нему можно понять размер взятой доли.
Знаменатель — число под дробной чертой. Он показывает, на сколько равных частей разделили целое. Знаменатель помогает определить, какого размера одна часть, поэтому он не может быть равен нулю.
Конечная десятичная дробь — десятичная дробь, запись которой заканчивается после конечного числа знаков. Например, 0,75 и 2,375 — конечные дроби. Такая форма удобна для вычислений и сравнения чисел.
Дробь a/b означает деление числителя a на знаменатель b: a/b = a : b. Дробная черта одновременно разделяет числа и показывает действие деления, поэтому её можно заменить знаком деления. Например, 3/4 означает, что 3 нужно разделить на 4, а не сложить или умножить эти числа.
Если увеличить числитель, а знаменатель оставить прежним, значение дроби увеличится: частей взяли больше. Если увеличить знаменатель при прежнем числителе, каждая часть станет меньше, поэтому дробь уменьшится. Умножение или деление числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число сохраняет значение, потому что фактически дробь умножают на 1: (a · c)/(b · c) = a/b.
Правильная дробь имеет числитель меньше знаменателя, например 3/5, и её значение меньше 1. В неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен ему, например 7/5 или 5/5; её значение не меньше 1. Неправильную дробь можно представить смешанным числом, то есть целой частью и правильной дробью: 7/5 = 1 2/5.
Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, делят числитель на знаменатель уголком или обычным делением. Если в процессе деления остаток становится равным нулю, цифры после запятой заканчиваются, и получается конечная десятичная дробь. Например, при делении 3 на 4 получают 0,75, потому что после двух знаков остаток исчезает.
Конечность записи можно определить без полного деления. После сокращения дроби знаменатель раскладывают на простые множители; если там есть только 2 и 5, его можно дополнить умножением до 10, 100 или другой степени десяти. Любой другой множитель, например 3 или 7, не позволит получить знаменатель-степень десяти, поэтому десятичная запись будет бесконечной периодической.
| Характеристика | Обыкновенная дробь | Конечная десятичная дробь |
|---|---|---|
| Вид записи | a/b, b ≠ 0 | 0,5; 2,375; 7,0 |
| Смысл записи | Часть целого или частное двух чисел | Число, записанное с конечным количеством цифр после запятой |
| Связь с делением | Показывает деление a на b | Получается, если деление заканчивается |
| Как получить другой вид записи | Разделить числитель на знаменатель | Убрать запятую и поставить в знаменателе степень десяти |
| Условие существования конечной записи | После сокращения в знаменателе только множители 2 и 5 | Можно представить как дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее |
Таблица помогает увидеть, что два вида записи могут обозначать одно и то же число. Если нужно перейти от дроби к десятичной записи, выполняют деление, а обратный переход делают через степень десяти.
Для проверки конечности сначала сокращайте обыкновенную дробь, а затем исследуйте её знаменатель. Это позволяет не спутать вид записи с самим значением числа.
Задача 1. Представить дробь 3/4 в виде конечной десятичной дроби. Знаменатель 4 не является степенью десяти, поэтому сначала подберём множитель, который превратит его в 100. Одновременно тем же множителем нужно умножить числитель.
Ответ: 3/4 = 0,75.
Задача 2. Определить, является ли дробь 7/12 конечной десятичной дробью. Проверять нужно не только сам вид знаменателя, а его множители после сокращения. Дробь уже не сокращается, потому что 7 и 12 не имеют общего делителя, кроме 1.
Ответ: дробь 7/12 не имеет конечной десятичной записи; её десятичное представление бесконечное периодическое.
Задача 3. Записать число 2,375 в виде обыкновенной дроби и сократить результат. После запятой стоят три цифры, поэтому в знаменателе должна быть тысяча. Сначала уберём запятую, а затем проверим, можно ли сократить полученную дробь.
Ответ: 2,375 = 19/8.
Некоторые изменяют только числитель или только знаменатель, например превращают 1/3 в 2/3 и считают дроби равными. Так делать нельзя: значение сохраняется только при одинаковом изменении обоих чисел. Проверка проста: сравните исходную и новую дробь или выполните деление.
Иногда дробь считают неконечной только потому, что её знаменатель не равен 10, 100 или 1000. Но знаменатель можно сначала дополнить до степени десяти: 3/4 = 75/100. Поэтому проверяйте, можно ли получить такую степень умножением числителя и знаменателя на одно и то же число.
Другая ошибка — проверять множители до сокращения дроби. Например, в 6/15 знаменатель содержит 3, но после сокращения получается 2/5, а эта дробь конечная. Сначала найдите общий делитель, сократите дробь и только потом разложите новый знаменатель.
При переводе десятичной дроби иногда ставят в знаменателе неправильную степень десяти или забывают сократить результат. Число знаков после запятой должно совпадать с количеством нулей: две цифры — 100, три — 1000. После записи выполните сокращение и обратную проверку переводом в десятичную форму.
Для изучения дробей нужны навыки деления натуральных и целых чисел, знание признаков делимости, разложения на простые множители и сокращения дробей. Эти действия помогают быстро проверять и преобразовывать записи.
Дроби используются при сравнении, сложении и умножении рациональных чисел, а также при решении уравнений и задач с процентами. Понимание числителя и знаменателя делает такие вычисления осмысленными.
Позже эти знания понадобятся при изучении периодических десятичных дробей и рациональных чисел. Там обыкновенная дробь поможет объяснить, почему одни десятичные записи заканчиваются, а другие повторяются.
Почему знаменатель дроби не может быть равен нулю?
Знаменатель показывает делитель, а делить на ноль нельзя. Поэтому запись a/0 не имеет числового смысла.
Всегда ли обыкновенную дробь можно записать конечной десятичной дробью?
Нет. После сокращения дроби в её знаменателе должны остаться только множители 2 и 5. Например, 1/3 превращается в бесконечную периодическую десятичную дробь.
Зачем сокращать дробь перед проверкой её десятичной записи?
Сокращение убирает общие множители числителя и знаменателя. Иногда именно после этого исчезают другие простые множители, и дробь становится конечной.
Почему дробь 1/8 является конечной десятичной, а дробь 1/3 — нет?
Знаменатель 8 раскладывается как 2³, поэтому его можно дополнить до степени десяти: 1/8 = 0,125. В знаменателе 3 есть множитель, отличный от 2 и 5, поэтому деление не заканчивается.
Как правильно перевести десятичную дробь в обыкновенную?
Нужно убрать запятую и полученное число записать в числителе. В знаменателе поставить 10, 100, 1000 и так далее — в зависимости от количества цифр после запятой, затем сократить дробь.
2.1. Обыкновенные дроби. Конечные десятичные дроби
