"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Рациональные числа — это числа, которые можно записать дробью m/n, где m — целое число, а n — натуральное. К ним относятся целые числа, обыкновенные дроби, конечные и периодические десятичные дроби. Одно число может иметь разные записи: например, ½ и 0,5. Умение распознавать и преобразовывать такие записи нужно для сравнений, вычислений и решения уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Натуральный знаменатель положителен, поэтому n ≠ 0. Такое определение объединяет целые числа, обыкновенные дроби и многие десятичные записи.
Обыкновенная дробь — запись рационального числа в виде отношения числителя к знаменателю: m/n. Числитель показывает, сколько частей взято, а знаменатель — на сколько равных частей разделили целое. Знаменатель не может быть равен нулю, потому что деление на ноль не определено.
Конечная десятичная дробь — запись, в которой после запятой стоит конечное число цифр, например 0,375 или 2,4. Её всегда можно заменить обыкновенной дробью: 0,375 = 375/1000. Поэтому конечная десятичная дробь является рациональным числом.
Периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная запись, в которой повторяется одна или несколько цифр. Повторяющаяся группа называется периодом: в 0,333… периодом является 3, а в 0,272727… — 27. Такая запись также задаёт рациональное число.
Дробь с целым числителем и ненулевым знаменателем задаёт результат деления, а значит, является рациональным числом по определению. Если знаменатель положителен, знак дроби определяется числителем: 5/7 положительно, а −5/7 отрицательно. При смене знака числителя значение меняет знак, но само условие рациональности сохраняется.
Целое число можно записать как дробь со знаменателем 1: −3 = −3/1. Конечную десятичную дробь превращают в обыкновенную, учитывая разрядность: в 0,48 две цифры после запятой, поэтому 0,48 = 48/100. Затем дробь можно сократить, если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число.
Чтобы получить десятичную запись дроби, делят числитель на знаменатель. Если деление заканчивается, получается конечная дробь, например 1/4 = 0,25. Если остатки начинают повторяться, вместе с ними повторяются и цифры частного, поэтому запись становится периодической: 1/3 = 0,333….
Период ищут после запятой: нужно заметить группу цифр, которая снова и снова появляется в одинаковом порядке. Для краткой записи повторение заключают в скобки: 0,272727… = 0,(27). Разные формы записи могут обозначать одно число, потому что являются результатами одного и того же деления: 1/2 = 0,5, а 2/4 = 1/2.
| Вид числа или записи | Пример | Как представить или распознать |
|---|---|---|
| Периодическая десятичная дробь | 0,333… | Повторяется одна и та же группа цифр |
В таблице нужно прежде всего найти повторяющуюся группу цифр после запятой. Если группа повторяется бесконечно, запись является периодической. Её можно кратко обозначить скобками: 0,(3).
Определим, можно ли каждое число представить в виде m/n, где m — целое, а n — натуральное.
Ответ: рациональными являются −7, 3/5 и 0,125; число √2 не является рациональным.
После запятой стоят три цифры, значит, сначала используем знаменатель 1000.
Ответ: 0,375 = 3/8.
Пусть x = 0,272727…, где период состоит из двух цифр. Умножение на 100 сдвинет запятую на длину периода и позволит вычесть одинаковые бесконечные хвосты.
Ответ: 0,272727… = 3/11. Полученная дробь имеет целый числитель и натуральный знаменатель, поэтому число рационально.
Некоторые считают рациональными только обыкновенные дроби. Это неверно: целое число записывается как дробь со знаменателем 1, а конечная десятичная дробь — со знаменателем 10, 100 или другой степенью десяти. Проверяйте себя вопросом: можно ли представить запись в виде m/n?
Нельзя допускать нулевой знаменатель, например в дроби 5/0. Деление на ноль не имеет смысла, поэтому такая запись не задаёт число. При проверке убедитесь, что знаменатель не равен нулю.
Записи 0,5 и 1/2 иногда ошибочно принимают за разные числа. На самом деле это разные способы записать один результат деления. Проверьте равенство, выполнив деление или приведя записи к одному виду.
При переводе десятичной дроби часто выбирают неправильный знаменатель. Число знаков после запятой показывает число нулей: одна цифра — 10, две — 100, три — 1000. После записи дроби полезно проверить её обратным делением.
Для изучения рациональных чисел нужны знания о целых числах, обыкновенных дробях, десятичной записи и делении с остатком. Именно остатки помогают понять, почему при делении появляется повторяющийся период.
Рациональные числа используются при сравнении и выполнении действий с числами, преобразовании выражений и решении уравнений. Позже они станут основой для работы с числовыми выражениями и координатами.
Почему целое число считается рациональным?
Любое целое число можно записать дробью со знаменателем 1: −7 = −7/1, 4 = 4/1. Числитель при этом целый, а знаменатель натуральный.
Может ли рациональная десятичная дробь быть бесконечной?
Да, если её цифры периодически повторяются. Например, 0,333… — бесконечная периодическая десятичная дробь.
Что называют периодом десятичной дроби?
Периодом называют одну или несколько цифр, которые бесконечно повторяются в десятичной записи. В записи 0,272727… период — 27.
Почему 0,5 и 1/2 — одно и то же число?
При делении 1 на 2 получается 0,5, поэтому эти записи обозначают одинаковое значение. Дробь и десятичная запись отличаются видом, но не числом.
Как понять, что десятичная дробь периодическая?
После запятой должна повторяться одна и та же группа цифр. Например, в числе 0,181818… повторяется группа 18, значит, дробь периодическая.
§ 2. Рациональные числа
