§ 9. Рациональные числа

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число. Иначе говоря, рациональное число получается делением целого числа на ненулевое целое. Это определение помогает понять, какие целые числа и дроби входят в одно общее множество.

Конечная десятичная дробь — десятичная запись, в которой после запятой стоит конечное число цифр. Например, 0,125 — конечная дробь, и её можно записать как 125/1000. Понимание этого определения позволяет сразу узнавать один из видов записи рациональных чисел.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — запись, в которой после некоторого разряда бесконечно повторяется одна и та же группа цифр. Например, в записи 0,333… повторяется цифра 3, а в 2,1(36) после запятой повторяется группа 36. Скобки помогают кратко обозначить период и не писать его бесконечное число раз.

Иррациональное число нельзя представить отношением двух целых чисел; его десятичная запись бесконечна и непериодична. Например, цифры после запятой у √2 не обрываются и не складываются в повторяющийся период. Это понятие нужно, чтобы отличать числа, которые можно записать обычной дробью, от тех, которые так записать нельзя.

Как это устроено

Дробь m/n задаёт рациональное число, потому что её значение — результат деления целого числа m на n. Знаменатель не может быть нулём: деление на ноль не определено, поскольку нельзя найти число, которое при умножении на ноль дало бы ненулевой числитель. Поэтому в записи рационального числа указывают n ≠ 0.

При делении числителя на знаменатель получается десятичная запись дроби. Если остаток в какой-то момент становится равен нулю, деление заканчивается и запись конечна. Если остаток не обнуляется, деление продолжается, а возникающие цифры зависят от остатков.

Период возникает потому, что ненулевых остатков при делении на знаменатель конечное число: каждый остаток меньше знаменателя. Если деление продолжается достаточно долго, какой-то остаток встретится повторно. После повторения остатка снова будут получаться те же цифры, поэтому они станут повторяться бесконечно.

Чтобы заранее узнать, будет ли десятичная запись конечной, сначала сократи дробь и разложи её знаменатель на простые множители. Если в знаменателе остались только 2 и 5, его можно домножить до степени 10, а значит, дробь можно записать конечной десятичной дробью. Любой другой простой множитель не позволит получить знаменатель, состоящий только из десяток, поэтому запись будет бесконечной периодической.

Одно рациональное число может иметь несколько десятичных записей, потому что добавление нулей в конце конечной дроби её значения не меняет: 0,5 = 0,5000. Есть и менее очевидный случай: 0,999… равно 1, поскольку бесконечные девятки заполняют разницу между 0,999… и 1 до нуля. Поэтому разные записи не всегда означают разные числа.

Виды записи и признаки рациональных чисел

Сначала определи, к какому случаю относится число, и проверь, сокращена ли дробь. Затем по простым множителям знаменателя можно предсказать вид десятичной записи, не выполняя деление до конца. Последняя строка обобщает все случаи: у рационального числа запись либо конечна, либо периодична.

Разбор задач

Задача 1. Определить, какие из чисел 4, −3/7, 0,125, 0,1010010001… являются рациональными. Нужно применить определение и отдельно проверить, есть ли у бесконечной записи период. Одной бесконечности записи недостаточно, чтобы назвать число иррациональным.

1. Число 4 — целое, поэтому его можно записать как 4/1. Оно рациональное.
2. Число −3/7 уже представлено отношением целых чисел, значит, оно рациональное.
3. Дробь 0,125 конечная: 0,125 = 125/1000. Поэтому она рациональная.
4. В записи 0,1010010001… между единицами число нулей растёт, повторяющейся группы нет. Такая запись непериодическая, поэтому число иррациональное.

Ответ: рациональные числа — 4, −3/7 и 0,125; число 0,1010010001… иррациональное. Проверка показывает, что решающим признаком бесконечной записи служит периодичность, а не сама бесконечность. Целые числа и конечные десятичные дроби входят в рациональные числа.

Задача 2. Представить 7/40 конечной десятичной дробью, а 5/12 — бесконечной периодической. Сначала проверим, сокращены ли дроби, затем воспользуемся разложением знаменателей и выполним деление. Так можно не только получить запись, но и заранее понять её вид.

1. Дробь 7/40 не сокращается, а 40 = 2³ · 5. В знаменателе только множители 2 и 5, значит, запись будет конечной.
2. Чтобы получить знаменатель 1000, умножим 40 на 25. Тогда 7/40 = 175/1000 = 0,175.
3. Дробь 5/12 не сокращается, а 12 = 2² · 3. Множитель 3 означает, что запись будет бесконечной периодической.
4. Делим 5 на 12: 5/12 = 0,41666… = 0,41(6). После цифр 41 повторяется цифра 6.

Ответ: 7/40 = 0,175, а 5/12 = 0,41(6). Вид записи подтверждён и разложением знаменателя, и делением. Скобки показывают только повторяющуюся часть десятичной записи.

Задача 3. Записать периодическую дробь 2,1(36) в виде обыкновенной дроби. Здесь перед периодом стоит одна цифра после запятой, а длина периода равна двум цифрам. Поэтому понадобятся два равенства, в которых повторяющаяся часть окажется на одинаковых местах.

1. Обозначим число через x: x = 2,1363636…
2. Умножим на 10, чтобы сдвинуть запятую за непериодическую цифру: 10x = 21,363636…
3. Умножим на 1000: 1000x = 2136,363636… Периоды в двух последних равенствах совпадают.
4. Вычтем второе равенство из третьего: 990x = 2115. Значит, x = 2115/990 = 47/22.

Ответ: 2,1(36) = 47/22. При вычитании бесконечные периодические части уничтожаются, поэтому остаётся конечное уравнение. Полученную дробь следует сократить, если числитель и знаменатель имеют общий делитель.

Типичные ошибки

Считать любую бесконечную десятичную дробь иррациональной — ошибка: бесконечность сама по себе не определяет вид числа. Так думают, потому что привычные конечные дроби проще узнавать. Проверь, повторяется ли одна и та же группа цифр: если повторяется, дробь рациональная.

Проверять знаменатель до сокращения тоже неверно: можно увидеть лишний множитель и ошибочно предсказать бесконечную запись. Например, в знаменателе 15 есть множитель 3, но 6/15 сокращается до 2/5 и даёт 0,4. Сначала сократи дробь, затем разложи знаменатель на простые множители.

Иногда в знаменателе рациональной дроби записывают ноль, забывая, что делить на ноль нельзя. Путаница возникает, когда условие n ≠ 0 не проверяют при записи дроби. Перед вычислениями убедись, что знаменатель ненулевой; если он равен нулю, такая дробь не задаёт число.

При переводе периодической дроби в обыкновенную можно указать не тот период или сдвинуть запятую на неправильное число разрядов. Тогда при вычитании повторяющиеся части не совпадут и не уничтожатся. Проверь длину периода, считай сдвиги запятой и убедись, что справа в равенствах стоят одинаковые периодические хвосты.

Связь с другими темами

Для работы с рациональными числами нужны знания об отрицательных и положительных целых числах, обыкновенных и десятичных дробях. Деление с остатком объясняет повторение цифр, а разложение на простые множители помогает заранее определить вид десятичной записи. Рациональные числа встречаются при действиях с дробями, решении уравнений и неравенств. Позже умение отличать их от иррациональных пригодится при работе с квадратными корнями и при изображении чисел на числовой прямой.

Что запомнить

• Рациональное число представляется в виде m/n, где m — целое число, n ≠ 0.
• Целые числа и конечные десятичные дроби являются рациональными.
• Десятичная запись рационального числа конечна или бесконечна периодична.
• После сокращения дроби знаменатель с простыми множителями только 2 и 5 даёт конечную десятичную запись.
• Бесконечная периодическая дробь всегда является рациональным числом.
• Иррациональное число нельзя представить отношением двух целых чисел.
• Разные записи могут обозначать одно и то же рациональное число.