"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Квадратный корень помогает найти число по его квадрату: например, понять, какое число при возведении в квадрат даёт 49. Запись √a означает арифметический квадратный корень из a — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу. Поэтому √a существует в действительных числах только при a ≥ 0. При этом уравнение x² = a для положительного a имеет два корня: √a и −√a, а знак корня обозначает только один из них.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный корень из числа — это число, квадрат которого равен данному числу. Например, 7 и −7 являются квадратными корнями из 49, потому что 7² = 49 и (−7)² = 49. Иными словами, нужно по результату возведения в квадрат найти число, которое могло дать этот результат. Такое понятие помогает решать обратную задачу по отношению к возведению в квадрат.
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа — это неотрицательное число, квадрат которого равен данному. Например, арифметический квадратный корень из 49 равен 7, а не −7. Это определение выбирает один корень из двух возможных, чтобы запись корня имела единственное значение. Именно так можно однозначно сравнивать и вычислять выражения с корнями.
Запись √a читают «арифметический квадратный корень из a». Она обозначает неотрицательное число, квадрат которого равен a, поэтому √49 = 7. Знак корня не означает сразу оба возможных числа. Если требуется указать оба числа, их находят при решении уравнения, а не записывают как два значения √a.
Подкоренное число — это число или выражение, записанное под знаком корня. В записи √a подкоренным числом является a; для арифметического квадратного корня оно должно быть неотрицательным. Например, √0 определён, а √(−9) не имеет значения в действительных числах. Проверка подкоренного числа помогает сразу понять, допустимо ли вычисление.
Возведение в квадрат переводит число в результат, а извлечение корня позволяет восстановить исходное число по этому результату. Например, если известно, что квадрат некоторого числа равен 25, нужно найти число, которое при умножении на себя даёт 25. Проверка показывает, что подходят 5 и −5: отрицательное число тоже становится положительным при умножении на себя. Значит, извлечение корня связано с обратной задачей, но для уравнения надо учитывать все подходящие числа.
При a > 0 уравнение x² = a имеет два корня, потому что числа √a и −√a противоположны, а квадраты противоположных чисел одинаковы. Если, например, a = 36, то и 6², и (−6)² равны 36. Арифметическим корнем называют только √a, то есть неотрицательное число, чтобы у знака √ было одно определённое значение. Поэтому √36 = 6, хотя уравнение x² = 36 имеет два решения.
Число 0 отличается от положительных чисел: противоположное ему число тоже равно 0. Поэтому уравнение x² = 0 имеет не две разные пары решений, а только одно решение — x = 0. Действительно, квадрат нуля равен нулю, и никакое ненулевое число при возведении в квадрат ноль не даёт. Следовательно, √0 = 0.
Если a < 0, то уравнение x² = a не имеет решений среди действительных чисел. Причина в том, что квадрат положительного числа положителен, квадрат отрицательного тоже положителен, а квадрат нуля равен нулю. Отрицательный результат получить нельзя, поэтому и арифметический квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не определён. Например, нельзя подобрать действительное x, для которого x² = −9.
Проверка корня опирается прямо на его определение: возведи предполагаемый ответ в квадрат и сравни результат с подкоренным числом. Для арифметического корня дополнительно проверь, что ответ неотрицательный. Так, число 7 подходит для √49, потому что 7² = 49 и 7 ≥ 0, а число −7 не подходит именно как значение арифметического корня. Для уравнения x² = 49 оба числа, напротив, нужно учесть.
| Случай | Арифметический квадратный корень | Корни уравнения x² = a |
|---|---|---|
| a > 0 | √a существует и положителен | √a и −√a |
| a = 0 | √0 = 0 | Только 0 |
| a < 0 | В действительных числах не определён | Действительных корней нет |
Сначала определи, положительно ли a, равно ли нулю или отрицательно, а затем прочитай соответствующую строку. Таблица показывает разницу между значением √a и всеми решениями уравнения x² = a. Особенно полезно сверяться с ней, чтобы не забыть второй корень при a > 0.
Нужно найти арифметический квадратный корень, поэтому сначала вспоминаем два условия его определения: квадрат ответа должен быть равен 49, а сам ответ должен быть неотрицательным. Числа 7 и −7 при возведении в квадрат дают 49, но только одно из них удовлетворяет второму условию. Поэтому отрицательный вариант не может быть значением √49.
Ответ: √49 = 7. Число −7 тоже является квадратным корнем из 49, но не арифметическим.
В уравнении требуется найти все числа, квадрат которых равен 36, поэтому одного положительного числа недостаточно. Квадраты противоположных чисел совпадают: как 6, так и −6 при умножении на себя дают 36. Значение √36 нужно назвать отдельно, потому что знак √ обозначает только неотрицательный корень.
Ответ: уравнение имеет корни x = 6 и x = −6; √36 = 6.
Для решения не нужно подбирать числа наугад: достаточно выяснить, каким может быть квадрат действительного числа. Он всегда неотрицателен, а справа стоит отрицательное число −9. Значит, равенство невозможно ни для положительного, ни для отрицательного x, ни для нуля.
Ответ: действительных решений нет.
Ошибка: считать, что √a имеет два значения. Её допускают, потому что уравнение x² = a при положительном a действительно имеет два корня. Но знак √ обозначает только арифметический, то есть неотрицательный корень; проверь себя, подставив результат в определение и убедившись, что он неотрицателен.
Ошибка: записать для уравнения x² = a только √a. Здесь путают значение арифметического корня с полным ответом к уравнению, которое требует найти все подходящие числа. При a > 0 нужно записать √a и −√a; проверить ответ легко возведением каждого из них в квадрат.
Ошибка: считать, что √(−a) существует в действительных числах при отрицательном подкоренном числе. Такая мысль возникает из-за того, что корень воспринимают как действие, применимое к любому числу. Но квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому проверь знак подкоренного числа до вычисления: если он отрицательный, действительного арифметического корня нет.
Ошибка: считать, что √(a²) всегда равно a. Это верно только при a ≥ 0, потому что арифметический корень не бывает отрицательным. Если a < 0, результатом будет противоположное число; например, √((-3)²) = 3. Проверка себя: сначала возведи a в квадрат, а затем выбери неотрицательный корень, то есть используй |a|.
Чтобы освоить корни, нужно знать, как находить квадрат числа, различать положительные и отрицательные числа и решать простейшие уравнения. Эти знания объясняют, почему у квадратов противоположных чисел одинаковый результат и почему отрицательное число не может быть квадратом действительного числа. Позже арифметический квадратный корень пригодится при преобразовании выражений с корнями и решении квадратных уравнений. Связь корня с возведением в квадрат также позволяет проверять вычисления и находить неизвестное по его квадрату.
Почему у √25 только одно значение, если уравнение x² = 25 имеет два корня?
Знак √ обозначает арифметический квадратный корень, который по определению неотрицателен. Поэтому √25 = 5. Уравнение x² = 25 спрашивает о всех числах, квадрат которых равен 25, и его корни — 5 и −5.
Чем квадратный корень отличается от арифметического квадратного корня?
Квадратными корнями числа называют все числа, квадрат которых равен этому числу. Для положительного числа таких корней два: противоположные числа. Арифметический квадратный корень — только неотрицательный из них, он записывается со знаком √.
Почему нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа?
Квадрат любого действительного числа неотрицателен: при умножении числа на себя получается ноль или положительное число. Поэтому действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу, нет. В рамках действительных чисел выражение с таким подкоренным числом не определено.
Как проверить, правильно ли найден квадратный корень?
Возведите предполагаемый арифметический корень в квадрат и проверьте, получилось ли подкоренное число. Также проверьте, что сам ответ неотрицателен. Например, 7² = 49 и 7 ≥ 0, значит, √49 = 7.
Почему √(a²) не всегда равно a?
Арифметический корень всегда неотрицателен, а число a может быть отрицательным. Поэтому √(a²) равно модулю числа a: если a ≥ 0, результат равен a, а если a < 0 — равен −a. Например, √((-3)²) = √9 = 3, а не −3.
§ 10. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа
