§ 11. Иррациональные числа

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, −3 = −3/1 и 0,75 = 3/4. Это определение позволяет проверить, относится ли число к рациональным.

Иррациональное число — число, которое нельзя представить в виде дроби m/n с целыми m и n, n ≠ 0. Примеры таких чисел — √2 и √5. Понятие нужно, чтобы описывать числа, которые не укладываются в вид обычной дроби.

Бесконечная непериодическая десятичная дробь — запись, в которой цифры после запятой продолжаются бесконечно и не образуют повторяющегося периода. Например, у √2 после запятой идут цифры 1,414213… без постоянного блока. Такая запись является признаком иррационального числа.

Действительные числа — рациональные и иррациональные числа, рассматриваемые вместе. К ним относятся все числа, которые можно отметить на числовой прямой. Поэтому действительные числа образуют более широкое множество, чем одни рациональные.

Как это устроено

При делении целых чисел в десятичную дробь на каждом шаге появляется остаток. Если остаток стал равен нулю, цифры заканчиваются, как в 3/8 = 0,375. Если нулевого остатка нет, возможных остатков всё равно конечное число: от 1 до знаменателя минус 1, поэтому какой-то остаток повторится. С этого места начнут повторяться и цифры, значит, запись станет периодической.

Бесконечная непериодическая запись не может быть результатом деления двух целых чисел. Для любой дроби m/n описанный процесс деления либо заканчивается, либо возвращается к уже встречавшемуся остатку и образует период. Поэтому непериодичность исключает представление в виде отношения целых чисел, а число является иррациональным.

Иррациональность возникает уже в геометрии. В единичном квадрате диагональ d по теореме Пифагора удовлетворяет равенству d² = 1² + 1² = 2, значит, d = √2. Если бы √2 равнялось несократимой дроби m/n, то m² = 2n²; отсюда m² чётно, значит, m чётно, а затем чётным оказывается и n. Это противоречит тому, что дробь была несократимой, поэтому √2 иррационально.

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой: рациональные точки отмечаются привычными дробями, а иррациональные — например, длиной диагонали или приближениями. Разные числа не могут соответствовать одной точке, потому что положение точки однозначно задаёт её расстояние и направление от нуля. Между любыми двумя точками можно найти числа обоих видов, поэтому рациональные и иррациональные числа перемешаны на всей прямой.

Если натуральное число n не является точным квадратом, то √n иррационально. Действительно, при предположении √n = m/k после возведения в квадрат равенство m² = nk² заставляет разложение n на простые множители иметь только чётные показатели, как у квадрата. Это возможно лишь тогда, когда n само является точным квадратом, поэтому для неточного квадрата предположение неверно.

Сравнение рациональных и иррациональных чисел

Сначала определите, можно ли записать число дробью двух целых чисел. Затем посмотрите на десятичную запись или проверьте, является ли подкоренное число точным квадратом. Таблица помогает быстро отличить виды чисел, но для сложных выражений сначала нужно выполнить упрощение.

Разбор задач

Задача 1

Условие: определить, какие из чисел 0,75; −3; √9; √2 рациональны, а какие иррациональны. Сначала преобразуем числа к понятному виду. Для корней проверим, являются ли подкоренные числа точными квадратами.

1. 0,75 = 75/100 = 3/4, поэтому число рациональное.
2. −3 = −3/1, поэтому число рациональное.
3. √9 = 3, а 3 = 3/1, поэтому число рациональное.
4. √2 иррационально, так как 2 не является точным квадратом.

Ответ: рациональные числа — 0,75, −3 и √9; иррациональное число — √2.

Задача 2

Условие: представить 0,272727… в виде обыкновенной дроби и определить вид числа √5. В первой части используем повторяющийся период 27, а во второй — признак корня из неточного квадрата.

1. Пусть x = 0,272727….
2. Умножаем на 100: 100x = 27,272727….
3. Вычитаем первое равенство: 99x = 27, откуда x = 27/99 = 3/11.
4. Число 5 не является квадратом целого числа, поэтому √5 иррационально.

Ответ: 0,272727… = 3/11 — рациональное число; √5 — иррациональное.

Задача 3

Условие: доказать, что √2 нельзя представить дробью m/n. Применим доказательство от противного и возьмём дробь несократимой, чтобы чётность обоих чисел дала противоречие.

1. Предположим, что √2 = m/n, где m и n — целые, n ≠ 0, а дробь несократима.
2. Возводим в квадрат: 2 = m²/n², поэтому m² = 2n².
3. m² чётно, значит, m чётно: m = 2k.
4. Подставляем: 4k² = 2n², откуда n² = 2k². Следовательно, n тоже чётно.
5. Числитель и знаменатель оказались чётными, значит, дробь можно сократить. Это противоречит условию.

Ответ: предположение неверно, поэтому √2 — иррациональное число.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать любое бесконечное десятичное число иррациональным. Бесконечная периодическая дробь, например 0,333…, рациональна, потому что равна 1/3. Проверяйте, повторяется ли блок цифр.

Ошибка 2. Называть √9 иррациональным только из-за знака корня. Сначала нужно вычислить корень: √9 = 3, а целое число рационально. Проверка точного квадрата сразу устраняет такую ошибку.

Ошибка 3. Путать иррациональность с неточностью вычисления. Иррациональное число существует точно, хотя его десятичную запись нельзя закончить или свести к периоду. Не округляйте число, пока не определили его вид.

Ошибка 4. Думать, что между соседними целыми нет иррациональных чисел. Например, √2 находится между 1 и 2. На любом промежутке можно найти числа обоих видов, поэтому проверяйте утверждение примером.

Связь с другими темами

Для изучения иррациональных чисел нужны действия с обыкновенными и десятичными дробями, свойства делимости и понятие квадратного корня. Эти навыки помогают распознавать периодические дроби и доказывать свойства корней.

Дальше понятие используется при изучении действительных чисел, преобразовании иррациональных выражений и решении уравнений с корнями. Умение определить вид числа помогает выбирать правильный способ преобразования.

Иррациональные числа встречаются в геометрии при вычислении длин, площадей и диагоналей фигур. Например, диагональ единичного квадрата равна √2, поэтому геометрические величины не всегда выражаются целыми или рациональными числами.

Что запомнить

• Рациональное число представляется в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0.
• Иррациональное число нельзя представить отношением двух целых чисел.
• Десятичная запись рационального числа конечна или периодична.
• Десятичная запись иррационального числа бесконечна и непериодична.
• √n иррационально, если n — натуральное число, не являющееся точным квадратом.
• Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел.
• Каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой.