§ 8. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа

Определения и обозначения

Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a. Например, 3 и −3 являются квадратными корнями из 9, потому что 3² = 9 и (−3)² = 9. Для положительного числа корни всегда противоположны.

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Его записывают так: √a. Это определение нужно, чтобы из двух квадратных корней выбирать один, однозначно заданный и неотрицательный.

Подкоренное выражение — выражение, записанное под знаком корня. В записи √(x − 3) подкоренным является x − 3, а не всё выражение целиком. Для арифметического квадратного корня значение подкоренного выражения должно быть неотрицательным.

Знак квадратного корня √ — специальное обозначение арифметического квадратного корня. Например, √16 означает не пару чисел, а одно число 4. Если нужно записать оба корня уравнения, используют выражение ±√16.

Как это устроено

Чтобы найти квадратный корень из известного числа, нужно подобрать число, квадрат которого равен этому числу. Например, для √36 ищем число, дающее 36 при умножении на себя: 6² = 36. Поскольку знак арифметического корня требует неотрицательный результат, получаем √36 = 6.

При a > 0 уравнение x² = a имеет два корня. Если x = √a, то его противоположное число −√a тоже подходит, ведь квадраты противоположных чисел равны: (−√a)² = (√a)² = a. Поэтому решения записывают так: x = √a и x = −√a, или короче x = ±√a.

Запись √a устроена иначе, чем запись решения уравнения. Знак корня выбирает только неотрицательное число, поэтому √25 = 5, а не ±5. Знак ± появляется лишь тогда, когда требуется перечислить оба решения уравнения x² = a.

Число 0 является особым случаем. Только 0 при возведении в квадрат даёт 0, а противоположное ему число не образует новую пару, потому что −0 = 0. Поэтому √0 = 0, и уравнение x² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Ограничение a ≥ 0 следует из свойств квадрата действительного числа. При любом x произведение x · x неотрицательно, поэтому оно не может равняться отрицательному числу. Значит, √(−4) не имеет значения в действительных числах, а при проверке корня достаточно возвести найденное неотрицательное число в квадрат и сравнить результат с подкоренным выражением.

Квадратный корень и арифметический квадратный корень

Сначала определите, к какой строке относится число или выражение под корнем. Затем используйте нужное правило: при положительном числе уравнение имеет два корня, при нуле — один, а при отрицательном действительных корней нет. Таблица помогает не путать все квадратные корни с единственным арифметическим корнем.

Разбор задач

Найти √49 и назвать все квадратные корни числа 49

Сначала найдём неотрицательное число, квадрат которого равен 49. Затем отделим значение арифметического корня от всех решений уравнения x² = 49. Это различие является главным в задаче.

1. Так как 7² = 49, получаем √49 = 7.
2. Противоположное число −7 также имеет квадрат 49: (−7)² = 49.

Ответ: √49 = 7; все квадратные корни числа 49: 7 и −7.

Решить уравнение x² = 0,81

Правая часть положительна, поэтому уравнение должно иметь два противоположных корня. Найдём сначала арифметический корень из 0,81, а потом запишем оба знака. Десятичное число удобно проверить возведением в квадрат.

1. Так как 0,9² = 0,81, арифметический корень равен √0,81 = 0,9.
2. Добавляем противоположный корень и получаем x = 0,9 или x = −0,9.
3. Проверка: (−0,9)² = 0,81, поэтому оба значения подходят.

Ответ: x₁ = 0,9, x₂ = −0,9.

Имеет ли смысл √(x − 3) при x = 2 и при x = 7?

Перед извлечением корня нужно вычислить подкоренное выражение и проверить его знак. Если оно отрицательно, выражение не имеет значения среди действительных чисел. Если оно неотрицательно, корень существует.

1. При x = 2 получаем x − 3 = 2 − 3 = −1. Поэтому √(x − 3) = √(−1) в действительных числах не имеет смысла.
2. При x = 7 получаем x − 3 = 7 − 3 = 4. Тогда √(x − 3) = √4 = 2.

Ответ: при x = 2 выражение не определено в действительных числах, при x = 7 оно имеет значение 2.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что √a обозначает два числа. Так происходит из-за смешения знака корня с решениями уравнения x² = a. Проверьте себя: √a должно быть неотрицательным, а два значения записываются как ±√a.

Ошибка: записывать √a = −√a при a > 0. Противоположные числа равны только тогда, когда оба равны нулю, поэтому при положительном a это неверно. Для проверки подставьте, например, a = 9: 3 не равно −3.

Ошибка: считать, что уравнение x² = a при a > 0 имеет один корень. Второй корень появляется потому, что квадраты числа и его противоположного совпадают. Проверьте оба значения подстановкой в уравнение.

Ошибка: извлекать корень из отрицательного числа в действительных числах. Обычно забывают сначала вычислить подкоренное выражение и проверить его знак. Запомните условие: для √A необходимо A ≥ 0.

Связь с другими темами

До изучения корней нужно уметь находить квадрат числа, то есть умножать число на себя. Это позволяет подбирать значение корня и проверять ответ. Например, знание квадратов чисел помогает сразу определить √64 = 8.

Квадратные корни используются при решении квадратных уравнений. Если после преобразований получается x² = a, то при a > 0 записывают x = ±√a. Корни также встречаются при преобразовании алгебраических выражений.

Условие неотрицательности подкоренного выражения связано с областью допустимых значений. Для функции y = √x допустимы только x ≥ 0. При работе с y = √(x − 3) это условие превращается в x − 3 ≥ 0.

Что запомнить

• √a — неотрицательное число, квадрат которого равен a.
• Арифметический квадратный корень определён в действительных числах при a ≥ 0.
• При a > 0 уравнение x² = a имеет корни √a и −√a.
• √0 = 0.
• Квадрат любого действительного числа неотрицателен.
• Знак √a обозначает один корень, а не пару корней.