1.4. Разложение натуральных чисел на множители

Определения и обозначения

Натуральное число раскладывают на множители, когда представляют его в виде произведения натуральных чисел, отличных от 1. Например, 18 = 2 · 9. Такая запись помогает увидеть, из каких чисел составлено исходное число.

Простое число — натуральное число, большее 1, которое делится только на 1 и на себя. Например, 2, 3, 5 и 7 простые. Это важно, потому что простые числа нельзя разложить на меньшие множители.

Составное число — натуральное число, большее 1, имеющее делители, отличные от 1 и самого числа. Число 12 составное, так как 12 = 3 · 4. Такие числа можно продолжать раскладывать.

Разложение на простые множители — представление числа в виде произведения простых чисел. Например, 60 = 2 · 2 · 3 · 5. Такая запись используется для сравнения чисел, нахождения НОД и НОК.

Как это устроено

Чтобы отличить простое число от составного, проверяют его делители. Если число делится без остатка на число, отличное от 1 и самого числа, оно составное: найден дополнительный делитель. Если такого делителя нет, число простое. Число 1 проверять таким способом нельзя: у него только один делитель, поэтому оно не относится ни к простым, ни к составным.

Любое составное число можно представить произведением двух меньших натуральных чисел. Например, 24 = 4 · 6, и оба множителя меньше 24. Если один из них составной, его снова раскладывают: 24 = 4 · 6 = 2 · 2 · 2 · 3. Процесс заканчивается тогда, когда все множители становятся простыми.

При последовательном делении выбирают простой делитель числа и делят на него. Получившееся частное снова проверяют и делят на простой делитель, пока не получится 1. Можно действовать и через дерево множителей: сначала записать произведение двух множителей, а затем разложить составные ветви. Оба способа приводят к произведению простых чисел.

Разные первые шаги не меняют итоговый набор простых множителей, потому что умножение можно выполнять в любом порядке. Например, 60 = 6 · 10 = 2 · 3 · 2 · 5 и 60 = 12 · 5 = 2 · 2 · 3 · 5. В обоих случаях получаются две двойки, тройка и пятёрка.

Повторяющиеся множители удобно объединять с помощью степени. Степень показывает, сколько раз число умножается само на себя: 2 · 2 · 2 = 2³. Поэтому 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 можно записать короче: 360 = 2³ · 3² · 5.

Простые и составные числа и их разложение

Сначала определите, к какому случаю относится число, а затем рассмотрите его множители. Если число составное, разложение продолжают до простых чисел. В последней строке таблицы показан результат, записанный с помощью степени.

Разбор задач

Задача 1. Разложение числа 18

Условие: разложите число 18 на множители и определите, является ли оно простым или составным.

1. Представим 18 произведением двух меньших чисел: 18 = 2 · 9.
2. Число 2 простое, а 9 составное, потому что 9 = 3 · 3.
3. Подставим это разложение: 18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 3².

Ответ: 18 — составное число; его разложение на простые множители: 18 = 2 · 3².

Задача 2. Два способа разложения числа 84

Условие: разложите 84 последовательным делением и с помощью дерева множителей.

1. При последовательном делении: 84 : 2 = 42, 42 : 2 = 21, 21 : 3 = 7, 7 : 7 = 1.
2. Запишем найденные делители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7.
3. Для дерева можно начать иначе: 84 = 12 · 7, затем 12 = 3 · 4, а 4 = 2 · 2.
4. Получаем 84 = 3 · 2 · 2 · 7 = 2² · 3 · 7. Набор множителей совпал.

Ответ: обоими способами получаем 84 = 2² · 3 · 7.

Задача 3. Разложение числа 360

Условие: представьте число 360 в виде произведения простых множителей и используйте степени.

1. Делим на 2: 360 : 2 = 180, затем 180 : 2 = 90 и 90 : 2 = 45.
2. Число 45 делится на 3: 45 : 3 = 15, ещё раз 15 : 3 = 5.
3. Число 5 простое, поэтому деление заканчиваем: 5 : 5 = 1.
4. Получаем 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5. Одинаковые множители объединяем.

Ответ: 360 = 2³ · 3² · 5. Проверка: 8 · 9 · 5 = 360.

Типичные ошибки

Считать число 1 простым. Так ошибаются, потому что 1 делит любое число. Проверьте количество делителей: у простого числа их ровно два, а у 1 только один.

Останавливать разложение на составном множителе. Например, запись 24 = 3 · 8 ещё не является разложением на простые множители, ведь 8 составное. Проверьте каждый множитель и продолжите деление, если у него есть делители кроме 1 и самого числа.

Пропускать простой множитель при делении. Ошибка появляется, когда делитель или частное записывают невнимательно. Перемножьте все найденные множители и убедитесь, что снова получили исходное число.

Считать разными записи с другим порядком множителей. Произведения 2 · 3 · 5 и 5 · 2 · 3 равны, потому что порядок множителей не влияет на результат. Сравнивайте состав множителей и их количество, а не их расположение.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны таблица умножения, понятия делителя и кратного, а также признаки делимости на 2, 3, 5 и 10. Они помогают быстро находить подходящий простой делитель.

Разложение на простые множители используется при нахождении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Сравнивая простые множители чисел, можно выполнять эти действия удобнее.

Эта тема нужна и при работе с дробями. Разложение помогает сокращать дроби и находить общий знаменатель.

Что запомнить

• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Простое число больше 1 и имеет ровно два натуральных делителя.
• Составное число больше 1 и имеет более двух натуральных делителей.
• Разложение на простые множители продолжают, пока все множители не станут простыми.
• Разложение натурального числа на простые множители единственно с точностью до порядка множителей.
• Одинаковые простые множители можно записывать степенью.