"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Простые и составные числа — натуральные числа, которые различают по количеству делителей. Простое число делится только на 1 и себя, а составное имеет и другие делители. Число 1 не относится ни к одной из этих групп. Умение определять вид числа помогает раскладывать числа на простые множители, находить НОД и НОК и проверять результаты вычислений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — это числа, которые используют при счёте: 1, 2, 3, 4 и так далее. В этом параграфе рассматриваются только натуральные числа, большие 1. Это уточнение нужно, потому что число 1 имеет особый статус и не считается ни простым, ни составным.
Простое число — натуральное число, большее 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя. Например, 13 делится на 1 и 13, но не делится без остатка на 2, 3, 4 и другие числа. Такое определение позволяет быстро отделять простые числа от чисел с дополнительными делителями.
Составное число — натуральное число, большее 1, которое имеет делители, отличные от 1 и самого числа. Например, 12 делится на 2, 3, 4 и 6, поэтому является составным. Составные числа удобно раскладывать на множители, чтобы изучать их строение и выполнять дальнейшие вычисления.
Делитель числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. У любого числа, большего 1, делителями являются 1 и само это число: например, 9 : 1 = 9 и 9 : 9 = 1. По наличию других делителей и определяют, является число простым или составным.
Делители позволяют отличить один вид числа от другого, потому что показывают все способы разделить число без остатка. У простого числа есть только два таких способа: разделить на 1 или на само число. У составного числа появляется ещё хотя бы один делитель, поэтому количество его натуральных делителей больше двух.
Число 1 не является ни простым, ни составным, поскольку у него только один натуральный делитель — 1. Для простоты нужны два делителя, а для составности — хотя бы три. Поэтому 1 выделяют в отдельную группу, хотя оно и является натуральным числом.
Число 2 — наименьшее простое число, потому что меньших натуральных чисел, больших 1, нет. Оно делится только на 1 и 2. Это также единственное чётное простое число: любое чётное число больше 2 делится на 2, а значит, имеет дополнительный делитель и является составным.
Чтобы проверить число, сначала ищут его делители, отличные от 1 и самого числа. Если хотя бы один такой делитель найден, проверка сразу заканчивается: число составное. Если после проверки возможных делителей дополнительных делителей не обнаружено, число простое.
Разложение составного числа на множители показывает его делимость. Например, 18 = 2 · 9, а затем 9 = 3 · 3, поэтому 18 = 2 · 3 · 3. Наличие множителей 2 и 3 означает, что у 18 есть делители, кроме 1 и 18; продолжение разложения до простых множителей даёт его простое разложение.
| Вид числа | Сколько делителей | Пример | Пояснение |
|---|---|---|---|
| Простое число | Ровно два | 13 | Делится только на 1 и 13 |
| Составное число | Больше двух | 12 | Имеет делители 2, 3, 4 и 6 |
| Число 1 | Один | 1 | Не является ни простым, ни составным |
Сначала определите строку по количеству делителей, а затем проверьте пример из третьего столбца. Если найден хотя бы один дополнительный делитель, число относится к составным. Отдельная строка для 1 помогает не применять к нему определения простого и составного числа.
Нужно выяснить, есть ли у 13 делитель, отличный от 1 и 13. Если такой делитель найдётся, число будет составным. Если других делителей нет, число окажется простым.
Ответ: 13 — простое число.
Для каждого числа ищем делитель, не равный 1 и самому числу. Для 21 достаточно проверить деление на 3, потому что 21 : 3 = 7. У 17 и 29 нужно убедиться, что подходящих дополнительных делителей нет.
Ответ: 17 и 29 — простые числа, 21 — составное.
Сначала представим 60 в виде произведения двух меньших натуральных чисел. Затем каждый составной множитель продолжим раскладывать, пока не останутся только простые числа. Так получится разложение, в котором каждый множитель нельзя разделить дальше без появления единицы.
Ответ: 60 = 2 · 2 · 3 · 5; все полученные множители 2, 3 и 5 простые.
Считать 1 простым числом. Ошибка возникает из-за того, что 1 делит себя без остатка. Проверьте количество делителей: у 1 только один делитель, поэтому условие простого числа не выполняется.
Считать 2 составным из-за его чётности. Чётность сама по себе не делает число составным, ведь 2 делится только на 1 и 2. Чтобы проверить себя, перечислите все делители 2, а не просто отметьте, что оно делится на 2.
Называть любое чётное число составным. Обычно это верно для чётных чисел, больших 2, поскольку у них есть делитель 2. Исключение нужно помнить отдельно: число 2 является простым.
Путать простое число с числом, которое делится только на себя. Простое число обязательно делится и на 1, иначе оно не имело бы двух делителей. При проверке всегда называйте пару делителей: 1 и само число.
До изучения темы нужно знать натуральные числа, деление с остатком и понятие делителя. Без этого трудно определить, делится ли число без остатка и сколько у него делителей.
Простые числа используются при разложении натуральных чисел на множители. Такое разложение помогает находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, а также упрощать вычисления с числами.
Почему число 1 не считается простым?
У числа 1 только один натуральный делитель — само число 1. Простое число должно иметь ровно два делителя: 1 и себя.
Может ли чётное число быть простым?
Да, таким числом является 2. Любое другое чётное число больше 2 делится не только на 1 и себя, но и на 2, поэтому оно составное.
Как понять, что число составное?
Нужно найти хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого числа. Например, число 15 делится на 3, значит, оно составное.
Сколько делителей у простого числа?
У простого числа ровно два натуральных делителя. Это 1 и само простое число.
Нужно ли проверять все числа, чтобы доказать, что число простое?
Нет, достаточно проверять возможные делители до тех пор, пока не станет ясно, что других делителей нет. Для небольших чисел обычно перебирают числа от 2 до числа, меньшего самого числа.
1.3. Простые и составные числа
