"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Степень числа — удобная запись произведения одинаковых множителей. Например, вместо 5 · 5 · 5 · 5 можно написать 5⁴: число 5 называют основанием, а 4 — показателем степени. Показатель показывает, сколько раз основание входит в произведение, а не на какое число его нужно умножить. Степени сокращают запись и помогают вычислять выражения, в том числе с большими числами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень числа — это произведение нескольких одинаковых множителей. Запись aⁿ заменяет длинное произведение: a · a · … · a, где число a повторяется n раз. Такая запись помогает не перечислять множители каждый раз и делает выражения компактнее.
Основание степени — число, которое умножают само на себя; в записи aⁿ это a. Например, в 6³ основание равно 6, поэтому именно шесть повторяется в произведении. Умение находить основание нужно, чтобы правильно раскрыть степень и не перепутать её части.
Показатель степени — число, указывающее, сколько одинаковых множителей входит в произведение; в записи aⁿ это n. В выражении 6³ показатель равен 3, то есть произведение содержит три шестёрки. По показателю можно сразу понять, сколько раз основание нужно записать множителем.
Квадрат числа — его вторая степень, а куб числа — третья степень: a² и a³. Название «квадрат» связано с площадью квадрата со стороной a, равной a · a; «куб» — с объёмом куба с ребром a, равным a · a · a. Эти короткие названия часто используют вместо слов «вторая» и «третья степень».
Если один и тот же множитель встречается несколько раз, произведение можно заменить степенью. Например, 4 · 4 · 4 · 4 · 4 записывают как 4⁵: такая запись короче, а число одинаковых множителей видно по показателю. При раскрытии степени, наоборот, основание повторяют столько раз, сколько указано показателем. Поэтому степень — не новое действие над числами, а удобный способ записать умножение одинаковых множителей.
Чтобы распознать части степени, сначала смотрят на запись и разделяют роли чисел. В 7⁴ основание — 7, потому что это повторяющийся множитель, а показатель — 4, потому что он считает множители. В 2⁶ основание равно 2, показатель равен 6. Проверка простая: при раскрытии записи должно получиться ровно шесть двоек.
Показатель считают по числу множителей, а не по числу знаков умножения между ними. Например, в произведении 8 · 8 · 8 · 8 четыре множителя, хотя знаков умножения только три; значит, это 8⁴. Между соседними числами нужен один знак, поэтому для n множителей таких знаков получается n − 1. Эта проверка помогает не уменьшить показатель на единицу.
Первая степень числа равна самому числу: a¹ = a, потому что в произведении должен быть только один множитель a. Вторую и третью степени принято называть квадратом и кубом: a² = a · a, а a³ = a · a · a. В этих случаях показатель обычно не читают как отдельное действие, а говорят «а в квадрате» или «а в кубе». Например, 5² — квадрат пяти, а 5³ — куб пяти.
В выражении со степенью сначала выполняют возведение в степень, а уже затем остальные действия по обычному порядку. Это правило нужно, чтобы у выражения было одно и то же значение независимо от того, кто его вычисляет. Например, в 2 + 3² · 4 сначала находят 3², затем умножают результат на 4 и только потом прибавляют 2. Если начать со сложения, получится неверный ответ.
| Показатель | Запись | Произведение | Название |
|---|---|---|---|
| 1 | a¹ | a | Первая степень |
| 2 | a² | a · a | Квадрат числа |
| 3 | a³ | a · a · a | Куб числа |
| n | aⁿ | a · a · … · a (n множителей) | Степень числа |
Сопоставляйте показатель с числом повторений основания в третьем столбце. По строкам для 2 и 3 удобно запоминать особые названия: квадрат и куб. Последняя строка показывает общий случай для любого показателя n.
Задача 1. Запишите произведение 5 · 5 · 5 · 5 в виде степени и укажите её основание и показатель. Сначала определим, какое число повторяется, затем посчитаем количество таких множителей. Так мы не перепутаем роль основания и показателя.
Ответ: 5⁴; основание — 5, показатель — 4.
Задача 2. Вычислите 3⁴ и сравните результат с произведением 3 · 4. Важно не заменять степень умножением основания на показатель: сначала раскроем запись, а затем отдельно вычислим обычное произведение. Сравнение покажет, почему эти действия дают разные значения.
Ответ: 3⁴ = 81, а 3 · 4 = 12; результаты не равны.
Задача 3. Вычислите значение выражения 2 + 3² · 4. Здесь есть возведение в степень, умножение и сложение, поэтому действия выполняются не в порядке записи. Сначала степень, затем умножение, после него сложение.
Ответ: 38.
Ошибка: считать, что aⁿ означает a · n. Её допускают, потому что показатель стоит рядом с основанием, и запись можно принять за обычное умножение. Но степень означает повторение основания: например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3, а не 3 · 4. Для проверки раскройте степень и посчитайте множители.
Ошибка: записать n одинаковых множителей и выполнить n умножений. Между n множителями находится только n − 1 знаков умножения, поэтому лишнего действия нет. Например, в 2 · 2 · 2 три множителя, но умножений два. Проверяйте количество чисел, а не знаков между ними.
Ошибка: поменять местами основание и показатель. Так бывает, когда не обращают внимания на то, какое число повторяется, а какое считает повторы. В записи 5⁴ основание — 5, показатель — 4, а произведение — четыре пятёрки. Чтобы проверить себя, мысленно раскройте степень и убедитесь, что повторяется именно основание.
Ошибка: сначала выполнить сложение или умножение, а степень оставить на потом. Причина — желание действовать слева направо, хотя у действий есть установленный порядок. Например, в 2 + 3² · 4 сначала вычисляют 3², затем умножают и только потом складывают. Перед решением отметьте степень и выполните её первой.
Для работы со степенями нужно уметь умножать натуральные числа и узнавать произведения одинаковых множителей. Если умножение пока даётся трудно, полезно сначала потренироваться на небольших примерах вроде 4 · 4 · 4. Степенная запись пригодится, когда одинаковых множителей много и длинное произведение неудобно читать. Позже степени помогут при вычислениях с большими числами и преобразовании выражений, в том числе при изучении одночленов и многочленов.
Что означает запись aⁿ?
Она означает произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a. Например, a⁴ = a · a · a · a.
Как определить основание и показатель степени?
В записи aⁿ основание — это a, число, которое повторяется в произведении. Показатель — n, он указывает, сколько таких множителей нужно взять.
Почему в степени показатель — это число множителей, а не число умножений?
Степень записывает количество одинаковых чисел в произведении. Чтобы соединить n множителей, нужно поставить между ними только n − 1 знаков умножения.
Чем квадрат числа отличается от произведения числа на 2?
Квадрат числа a — это a · a, то есть a². Произведение числа на 2 — это a · 2, и оно обычно не равно квадрату.
В каком порядке выполнять действия, если в выражении есть степень?
Сначала вычисляют степень, затем выполняют умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Например, в выражении 2 + 3² · 4 сначала находят 3².
1.2. Степень числа
