"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Натуральные числа помогают считать предметы и записывать результаты счёта. Они образуют ряд 1, 2, 3, …; в принятом здесь определении нуль в него не входит. Каждая цифра в записи числа занимает свой разряд, поэтому её значение зависит от места. Сложение объединяет количества, а умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых. Эти действия связаны с вычитанием и делением, которые помогают проверять вычисления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — числа, которые используют при счёте предметов: 1, 2, 3 и так далее. В принятом в этом учебнике определении ряд начинается с единицы, поэтому нуль не относится к натуральным числам. Это соглашение нужно учитывать, когда определяешь, принадлежит ли число натуральным.
Натуральный ряд — последовательность натуральных чисел, расположенных по возрастанию: 1, 2, 3, 4, … . Каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Ряд помогает видеть порядок чисел и находить число, которое идёт сразу после заданного.
Сложение натуральных чисел — действие, которое объединяет количества. Числа, которые складывают, называются слагаемыми, а результат — суммой: например, в записи 4 + 3 = 7 числа 4 и 3 — слагаемые, 7 — сумма. Так удобно находить общее количество предметов в нескольких группах.
Умножение натуральных чисел — действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых. Числа, которые перемножают, называются множителями, результат — произведением: 3 × 5 = 5 + 5 + 5 = 15. Умножение удобно, когда одинаковых групп много и повторять сложение долго.
Натуральные числа появляются, когда предметы считают по одному: первому дают номер 1, следующему — 2, затем 3 и так далее. Так возникает натуральный ряд, у которого есть начало, но нет последнего числа: к любому числу можно прибавить единицу. Ряд целых чисел устроен шире: в нём есть отрицательные числа, нуль и положительные числа. Поэтому натуральный ряд — только часть ряда целых чисел.
Числа записывают с помощью десяти цифр: от 0 до 9. Такая запись называется позиционной, потому что значение цифры зависит от её места: в числе 40 цифра 4 означает четыре десятка, а в числе 400 — четыре сотни. Десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего: десять единиц — десяток, десять десятков — сотню. Нули сохраняют места разрядов, даже если в них нет единиц; без них запись могла бы обозначать другое число.
Сложение означает, что количества соединяют, поэтому находят общее число предметов. В столбик числа ставят так, чтобы единицы оказались под единицами, десятки под десятками и так далее. Складывают справа налево: если в разряде получилось 10 или больше, записывают цифру единиц, а десяток переносят в следующий разряд. Перенос нужен потому, что десять единиц одного разряда можно заменить одной единицей следующего.
Умножение показывает, сколько предметов получится в нескольких одинаковых группах: 4 × 3 означает четыре группы по три предмета. При умножении многозначных чисел каждый разряд одного числа по очереди умножают на другое число, затем учитывают разряд полученного результата. Например, десятки дают десятки, а не единицы. Частичные результаты складывают, потому что вместе они составляют полное произведение.
Сложение и вычитание связаны как обратные действия: если к числу прибавили другое, вычитание этого слагаемого возвращает исходное число. Аналогично, умножение и деление обращают друг друга, когда деление выполняется нацело: произведение, разделённое на один множитель, даёт другой. Поэтому обратное действие служит проверкой вычисления. Если деление не выполняется нацело, частное может не быть натуральным числом.
| Действие | Как понимается | Компоненты | Результат | Проверка |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | Объединение количеств | Слагаемые | Сумма | Вычитанием одного слагаемого из суммы |
| Вычитание | Нахождение остатка или разности | Уменьшаемое, вычитаемое | Разность | Сложением разности и вычитаемого |
| Умножение | Сложение одинаковых слагаемых | Множители | Произведение | Делением произведения на множитель |
| Деление | Разбиение на равные группы или нахождение числа групп | Делимое, делитель | Частное | Умножением частного на делитель, если деление нацело |
Сначала найди в таблице название действия, затем определи его компоненты и результат. Последний столбец подсказывает, каким обратным действием проверить вычисление. Проверка делением или умножением в этой таблице применима, когда деление выполняется нацело.
Запишем число 40 305 в виде суммы разрядных слагаемых и выясним значение каждой цифры. Разрядное слагаемое показывает вклад цифры в число: например, цифра 4 в разряде десятков тысяч даёт 40 000. Нули не дают слагаемых, но указывают, что в соответствующих разрядах нет единиц. Это помогает не перепутать десятки с сотнями.
Ответ: 40 305 = 40 000 + 300 + 5; значения цифр по порядку — 40 000, 0, 300, 0, 5. Нули оставлены в описании разрядов, хотя нулевые слагаемые в сумму не записывают.
Вычислим 3 748 + 2 586. Складываем цифры одинаковых разрядов, поэтому сначала располагаем числа одно под другим по последним цифрам. Если сумма в разряде превышает 9, переносим десяток в следующий разряд. После вычисления проверяем результат вычитанием.
Ответ: 6 334.
В зале 18 рядов по 24 стула, а всего мест 450. Сначала нужно узнать, сколько стульев поставили: одинаковое количество в каждом ряду удобно найти умножением. Затем число свободных мест получим вычитанием общего числа стульев из вместимости зала. Составим выражение 450 − 18 × 24, соблюдая порядок действий: сначала умножение, потом вычитание.
Ответ: всего поставили 432 стула, свободными останутся 18 мест. Проверки подтверждают оба вычисления и показывают, что вместимость зала учтена верно.
Нуль иногда считают натуральным числом, не сверившись с определением. Такое происходит потому, что в некоторых источниках натуральный ряд начинают с нуля. Здесь ряд начинается с 1; проверь себя, записав первые числа ряда, принятого в учебнике.
Цифру путают с числом, потому что в короткой записи они могут выглядеть одинаково. Цифра — знак, а число может состоять из нескольких цифр и выражать количество или порядок. Чтобы проверить себя, спроси: речь о символе записи или о самом количестве? Например, 4 — цифра в записи 40, но 40 — число.
При сложении или вычитании числа иногда записывают не по разрядам: например, ставят единицы под десятками. Ошибка возникает, если ориентироваться на начало записи, а не на значение цифр. Выравнивай числа по последним цифрам и проверяй, что единицы стоят под единицами, десятки — под десятками.
Можно решить, что деление любых натуральных чисел даёт натуральное частное. Это неверно: деление 7 на 2 не выполняется нацело, и результат 3,5 не является натуральным числом. Проверяй, умножается ли частное на делитель с получением делимого без остатка. Если нет, натурального частного нет.
Для работы с натуральными числами нужны навыки счёта предметов, чтения и записи чисел, понимание разрядов и знание таблицы умножения. Если разрядный состав неясен, трудно правильно складывать и вычитать многозначные числа. Таблица умножения ускоряет вычисления и помогает проверять деление.
Действия с натуральными числами станут основой для следующих тем. С ними проще понять вычисления с целыми числами и дробями, находить значения выражений и решать текстовые задачи. Умение переводить условие задачи в действия помогает выбрать подходящий способ решения.
Входит ли нуль в натуральные числа?
В определении, принятом в этом учебнике, натуральный ряд начинается с единицы: 1, 2, 3, … . Поэтому нуль не считают натуральным числом. В других источниках встречается иное соглашение, так что проверяй определение.
Чем цифра отличается от числа?
Цифра — это знак, которым записывают числа: например, 4 или 0. Число выражает количество или порядок и может быть записано одной цифрой или несколькими. В записи 40 цифра 4 означает четыре десятка.
Почему при записи чисел важен порядок цифр?
В десятичной записи место цифры показывает её разряд: единицы, десятки, сотни и так далее. Поэтому 35 — это три десятка и пять единиц, а 53 — пять десятков и три единицы. Одни и те же цифры в разном порядке дают разные числа.
Как проверить результат сложения или умножения?
Сложение проверяют вычитанием: из суммы вычитают одно слагаемое и получают другое. Умножение проверяют делением, если частное получается без остатка. Например, произведение можно разделить на один из множителей и получить второй.
Всегда ли частное натуральных чисел является натуральным числом?
Нет. Например, 7 : 2 = 3,5, а это не натуральное число. Частное будет натуральным, если деление выполняется нацело, то есть без остатка.
1.1. Натуральные числа и действия с ними
