§ 1. Натуральные числа

Определения и обозначения

Натуральное число — число, используемое при счёте предметов: 1 яблоко, 2 яблока, 3 яблока. В принятом в учебнике соглашении натуральный ряд начинается с единицы, поэтому 0 к натуральным числам не относят. Эти числа помогают не только считать, но и указывать порядок предметов.

Натуральный ряд — последовательность натуральных чисел, расположенных по возрастанию: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Каждое следующее число получают прибавлением единицы к предыдущему. По этому ряду удобно считать и сравнивать числа.

Десятичная запись натурального числа — запись с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Одна и та же цифра может иметь разное значение в зависимости от места, например 5 в числах 5, 50 и 500. Такая запись позволяет изображать как небольшие, так и очень большие числа.

Разряд — место цифры в записи числа, связанное с единицами, десятками, сотнями, тысячами и другими степенями десяти. Разряды считают справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи. Знание разрядов нужно, чтобы правильно читать, записывать и преобразовывать числа.

Как это устроено

Натуральный ряд нужен для счёта: каждому предмету ставят в соответствие очередное число. Он также задаёт порядок: число, стоящее правее другого в ряду, больше него. У каждого натурального числа есть следующее, потому что к нему всегда можно прибавить единицу: после 27 идёт 28.

Десятичная система строится группами по десять. Десять единиц образуют один десяток, десять десятков — одну сотню, десять сотен — одну тысячу. Поэтому при переходе к следующему разряду десять одинаковых единиц заменяют одной единицей более высокого разряда.

В позиционной записи цифра получает значение благодаря своему месту. Например, 472 = 4 · 100 + 7 · 10 + 2, то есть 400 + 70 + 2; эти слагаемые называют разрядными. Ноль обозначает отсутствие единиц в разряде: в числе 405 нет десятков, но ноль сохраняет место десятков и помогает правильно прочитать число.

Чтобы сравнить натуральные числа, сначала считают их цифры: число с большим количеством цифр больше. Если цифр поровну, записи сравнивают слева направо, начиная со старшего разряда. При округлении до заданного разряда цифры слева и сама сохраняемая цифра остаются, а цифры справа заменяются нулями; цифра сразу справа определяет, увеличивать ли сохраняемую цифру: 0–4 — нет, 5–9 — да.

Разряды и разрядные слагаемые натурального числа

В таблице показано число 583 742: каждая его цифра занимает свой разряд. Разрядное слагаемое получают умножением цифры на значение одной единицы этого разряда. По таблице удобно читать число справа налево и раскладывать его на сумму разрядных слагаемых.

Разбор задач

Задача: запишите цифрами число «триста семь тысяч сорок два». Сначала определим, какие разряды названы словами, а затем заполним неназванные разряды нулями. Это помогает не перепутать десятки, единицы и тысячи.

1. «Триста семь тысяч» означает 307 тысяч, поэтому записываем 307 000.
2. «Сорок два» означает 42 единицы, то есть добавляем 42 в конце записи.
3. Получаем 307 042: ноль в разряде десятков тысяч показывает, что десятков тысяч нет.

Ответ: 307 042. Нули нужны, чтобы цифры 3 и 7 сохранили положение в разрядах тысяч и единиц. Проверка чтением слева направо даёт «триста семь тысяч сорок два».

Задача: сравните 58 704 и 58 740. Количество цифр одинаково, поэтому начинаем со старшего разряда. Искать различие в последних цифрах сразу не нужно: сначала проверяем цифры слева направо.

1. Цифры десятков тысяч одинаковы: 5 = 5.
2. Цифры тысяч одинаковы: 8 = 8, затем цифры сотен: 7 = 7.
3. В разряде десятков стоят 0 и 4, а 0 < 4, значит 58 704 < 58 740.

Ответ: 58 704 < 58 740. Сравнение остановилось на первом разряде, где цифры различаются. Единицы уже не влияют на результат.

Задача: округлите 386 749 до тысяч и до десятков тысяч. Для каждого случая отдельно определяем сохраняемый разряд и смотрим на цифру непосредственно справа от него. После изменения все цифры правее сохраняемого разряда заменяем нулями.

1. До тысяч сохраняем цифру 6 в разряде тысяч; справа стоит 7, поэтому увеличиваем 6 до 7 и получаем 387 000.
2. До десятков тысяч сохраняем цифру 8; справа стоит 6, поэтому увеличиваем 8 до 9 и получаем 390 000.

Ответ: до тысяч — 387 000, до десятков тысяч — 390 000. В первом случае решение определяет цифра сотен, во втором — цифра тысяч. Нельзя смотреть на цифру самого сохраняемого разряда: нужна соседняя цифра справа.

Типичные ошибки

Некоторые считают ноль натуральным числом, потому что он встречается в обычном счёте и записи чисел. Ошибка возникает из-за разных соглашений о начале натурального ряда. Проверьте определение именно в используемом учебнике: здесь ряд начинается с 1.

Иногда цифру читают отдельно от её места: например, в числе 500 принимают 5 за пять единиц. Так происходит, если не различать цифру и значение разряда. Для проверки разложите число на слагаемые: 500 = 5 · 100.

При сравнении ученики начинают с последних цифр, поскольку их легче заметить. Это неверно: старшие разряды имеют больший вес и могут полностью определить результат. Сначала посчитайте цифры, затем двигайтесь слева направо до первого различия.

При округлении смотрят на цифру сохраняемого разряда, а не на следующую. Но решение об увеличении принимает именно цифра справа от сохраняемого разряда. Подчеркните этот разряд, найдите соседа справа и только после этого заменяйте хвост нулями.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны навыки счёта предметов, записи чисел цифрами и знание цифр от 0 до 9. Полезно уверенно читать числа и понимать, что десяток состоит из десяти единиц.

Натуральные числа встречаются почти во всех следующих темах. Разряды нужны при сложении, вычитании и записи больших чисел, а сравнение и округление помогают изучать делимость и выполнять приближённые вычисления.

Что запомнить

• Натуральные числа используют для счёта и упорядочивания.
• В принятом соглашении учебника натуральный ряд начинается с 1.
• В десятичной записи значение цифры зависит от её разряда.
• Десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего.
• Ноль в записи может обозначать отсутствие единиц в соответствующем разряде.
• При сравнении сначала учитывают количество цифр, затем сравнивают цифры слева направо.
• При округлении учитывают цифру, стоящую непосредственно справа от сохраняемого разряда.