§ 30. Простые и составные числа

Определения и обозначения

Простое число — натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Например, у числа 7 делители только 1 и 7. Это определение помогает отличить числа, которые нельзя разделить на более мелкие натуральные множители, от остальных чисел.

Составное число — натуральное число, большее 1, которое имеет более двух натуральных делителей. Например, у числа 6 есть делители 1, 2, 3 и 6. Такое число можно представить как произведение натуральных чисел, больших 1, поэтому определение составного числа пригодится при разложении чисел на множители.

Делитель числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 3 — делитель числа 12, потому что 12 : 3 = 4. Проверка делителей позволяет определить, простое число перед нами или составное: нужно выяснить, есть ли делители помимо 1 и самого числа.

Число 1 — особое натуральное число, которое не является ни простым, ни составным. Его единственный натуральный делитель — 1, а значит, делителей не ровно два и не больше двух. Это уточнение не даёт ошибочно включать единицу в одну из двух групп.

Как это устроено

Простые и составные числа определяют только среди натуральных чисел, больших 1. Ноль и отрицательные числа не подходят под это определение, а число 1 выделено отдельно, потому что у него лишь один натуральный делитель. Для классификации сначала проверяют, относится ли число к нужной области, а уже затем считают его делители.

Любое натуральное число делится на 1, а любое число делится на само себя: при делении на него получается 1. Если число больше 1, эти два делителя различны, потому что оно не равно единице. Поэтому у каждого такого числа как минимум два делителя, и простым оно будет только тогда, когда других нет.

Если у числа находится делитель, отличный от 1 и самого числа, то к двум обязательным делителям добавляется ещё один. Значит, делителей уже больше двух, и число является составным. Например, 15 делится на 3; вместе с 1 и 15 это даёт не менее трёх делителей.

Разложение составного числа на множители показывает, откуда берутся дополнительные делители. Например, 12 = 3 · 4, поэтому 3 и 4 — делители числа 12 наряду с 1 и 12. Получается больше двух делителей, так что 12 составное; пары множителей помогают обнаруживать такие делители.

Чтобы классифицировать натуральное число, большее 1, нужно проверить, сколько у него делителей. Если делителей ровно два, число простое; если их больше двух — составное. На практике достаточно найти хотя бы один дополнительный делитель, чтобы сразу установить составной характер числа, а для простоты нужно убедиться, что дополнительных делителей нет.

Простые и составные числа

Сначала посмотрите, больше ли число 1: единица выделяется в отдельную категорию. Для остальных чисел сравните количество делителей с двумя. Если нашли дополнительный делитель, число составное; если дополнительных делителей нет, оно простое.

Разбор задач

Задача 1. Определите, является ли число 7 простым или составным. Нужно проверить, есть ли у него делители, кроме 1 и самого числа. Если дополнительных делителей нет, число простое.

1. Проверим деление 7 на натуральные числа, которые могли бы быть дополнительными делителями.
2. На 2, 3, 4, 5 и 6 число 7 без остатка не делится.
3. Значит, его единственные натуральные делители — 1 и 7.

Ответ: 7 — простое число, потому что у него ровно два натуральных делителя.

Задача 2. Определите, является ли число 21 простым или составным. Удобно искать делитель или представить число произведением двух натуральных чисел, больших 1. Если такое разложение найдётся, появится дополнительный делитель.

1. Проверим делимость 21 на 3: сумма цифр 2 + 1 = 3, поэтому 21 делится на 3.
2. Получаем разложение 21 = 3 · 7; значит, 3 и 7 — его делители.
3. Помимо них, делителями являются 1 и 21, всего получается четыре делителя.

Ответ: 21 — составное число, так как у него больше двух натуральных делителей.

Задача 3. Среди чисел 1, 13, 27 и 31 укажите простые и составные и объясните статус числа 1. Для каждого числа проверим делители, а единицу рассмотрим отдельно. Это важно, потому что она не относится ни к простым, ни к составным.

1. У числа 1 только один делитель, поэтому оно не простое и не составное.
2. У числа 13 нет делителей, кроме 1 и 13: на 2, 3 и 4 оно не делится.
3. Число 27 делится на 3, так как 2 + 7 = 9; значит, оно составное.
4. Число 31 не делится на 2, 3 и 5; его делителей, кроме 1 и 31, нет.

Ответ: простые числа — 13 и 31, составное число — 27; число 1 не является ни простым, ни составным.

Типичные ошибки

• Считать число 1 простым — ошибка: у него только один натуральный делитель, а требуется ровно два. Так думают, потому что единица делит любое число. Проверьте количество делителей: у 1 оно равно одному.
• Называть простым любое нечётное число неверно: нечётность исключает делимость на 2, но не на другие числа. Например, 9 делится на 3. Для проверки ищите делители и помимо 2.
• Делимость на 1 и на само число не доказывает, что число составное. Эти делители есть у любого натурального числа больше 1. Проверьте, найден ли ещё хотя бы один делитель.
• Иногда при проверке забывают учесть делитель, равный самому числу, или считают только делители меньше него. Простота определяется полным количеством натуральных делителей. Включите в подсчёт и 1, и само число, а затем выясните, есть ли другие.

Связь с другими темами

Перед изучением простых и составных чисел нужно уметь делить натуральные числа с остатком и проверять, делится ли одно число на другое без остатка. Такие проверки позволяют находить делители и выяснять, есть ли у числа дополнительные делители. Позже простые числа используют при разложении натуральных чисел на простые множители. Это разложение помогает находить наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК).

Что запомнить

• Простое число имеет ровно два натуральных делителя.
• Составное число имеет более двух натуральных делителей.
• И простые, и составные числа больше 1.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• У любого натурального числа, большего 1, делителями являются 1 и само число.
• Наличие дополнительного делителя означает, что число составное.