"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Деление многочленов позволяет представить один многочлен как произведение другого многочлена на частное с добавлением остатка. Оно нужно для упрощения выражений, разложения многочленов на множители и решения уравнений. Главное правило алгоритма: поочерёдно делить старшие члены, умножать найденный член частного на весь делитель и вычитать произведение, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление многочленов — это представление делимого в виде произведения делителя и частного, а при необходимости ещё и остатка. Записывают так: делимое = делитель · частное + остаток. Такое представление помогает выполнять преобразования выражений и проверять результат вычислений.
Делимое — многочлен, который делят. В равенстве он стоит слева: например, в записи A = B · C + R многочлен A является делимым. От него начинают деление и постепенно получают текущие остатки.
Делитель — многочлен, на который делят. В равенстве он является множителем перед частным: B · C. Нулевой многочлен не может быть делителем, потому что деление на ноль не определено, а умножение на ноль не позволяет восстановить исходное делимое.
Частное и остаток — результаты деления. Частное показывает основную часть разложения делимого, а остаток добавляется к произведению делителя и частного; при этом степень остатка должна быть меньше степени делителя. Если остаток равен нулю, деление называют делением нацело.
Сначала слагаемые обоих многочленов упорядочивают по убыванию степеней. Это нужно, чтобы старшие члены находились перед глазами и их можно было последовательно сокращать. Если, например, отсутствует член с x², его можно записать как 0x²: нулевой коэффициент сохраняет порядок степеней и предотвращает ошибки при вычитании.
Первый член частного находят делением старшего члена делимого на старший член делителя. Например, 6x³ : 3x = 2x², поэтому 2x² становится началом частного. Такой выбор не случаен: после умножения на делитель он уничтожит старший член текущего делимого.
Найденный член частного умножают не на один член, а на весь делитель. Полученное произведение вычитают из текущего делимого, потому что требуется убрать совпадающий старший член. При вычитании скобки раскрывают и меняют знаки у каждого слагаемого произведения.
После вычитания получают новый остаток и снова сравнивают его старший член со старшим членом делителя. Новый член частного находят тем же способом, затем выполняют умножение и вычитание. Каждый шаг уменьшает степень текущего остатка, поэтому процесс заканчивается.
Остановиться можно, если остаток стал нулевым или его степень меньше степени делителя. В первом случае деление нацело, во втором получено деление с остатком. Проверка выполняется по равенству делимое = делитель · частное + остаток и по сравнению степеней.
| Случай | Частное | Остаток | Связь с делимым и делителем |
|---|---|---|---|
| Деление нацело | Q | 0 | D = d · Q |
| Деление с ненулевым остатком | Q | R ≠ 0 | D = d · Q + R |
| Условие на степень остатка | Q | deg R < deg d | Остаток нельзя дальше делить нацело на d |
| Проверка результата | Найденное Q | Найденное R | d · Q + R должно равняться D |
В таблице D обозначает делимое, d — делитель, Q — частное, а R — остаток. Сначала определяют частное и остаток алгоритмом, затем используют последнюю строку для проверки. Условие на степень показывает, действительно ли деление доведено до конца.
Нужно разделить 6x³ − 9x² на 3x. Делитель является одночленом, поэтому каждый член делимого можно разделить отдельно. После этого полезно умножить результат на 3x.
Ответ: 2x² − 3x. Проверка: 3x · (2x² − 3x) = 6x³ − 9x².
Разделим x² + 5x + 6 на x + 2. Старшие члены дают x² : x = x, поэтому первым членом частного будет x. Затем нужно учесть весь делитель, а не только его старший член.
Ответ: частное x + 3, остаток 0. Проверка: (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.
Разделим 2x³ + 3x² − 5x + 4 на x² + 2x − 1. Степень делителя равна двум, поэтому деление завершится, когда текущий остаток будет иметь степень меньше двух. Последовательно сокращаем старшие члены.
Ответ: частное 2x − 1, остаток −x + 3. Проверка: (x² + 2x − 1)(2x − 1) + (−x + 3) = 2x³ + 3x² − 5x + 4.
Иногда делят только старшие члены и сразу записывают ответ. Так теряются остальные слагаемые, потому что один шаг лишь убирает старший член. Нужно продолжать алгоритм с полученным остатком и проверить умножением.
Другая ошибка — умножить новый член частного только на старший член делителя. В результате не сокращаются все соответствующие слагаемые. Проверяйте, что одночлен частного умножен на каждый член делителя.
При вычитании произведения часто ошибаются в знаках. Если перед скобками стоит знак минус, знаки меняются у всех слагаемых внутри скобок. После вычитания можно раскрыть скобки ещё раз и проверить каждый коэффициент.
Нельзя заканчивать деление только потому, что остаток не равен нулю. Ненулевой остаток допустим, если его степень меньше степени делителя. Сравните эти степени перед тем, как записать окончательный ответ.
Перед делением нужно уметь приводить подобные слагаемые, упорядочивать многочлен по степеням и умножать многочлены. Эти навыки нужны, потому что каждый шаг деления включает работу с коэффициентами, степенями и раскрытием скобок.
Деление многочленов связано с разложением на множители: если остаток равен нулю, делитель является множителем делимого. Это также помогает преобразовывать выражения и решать некоторые уравнения.
Зачем упорядочивать слагаемые по степеням перед делением?
Так легче определить старший член и правильно выбрать первый член частного. Пропущенные степени с нулевыми коэффициентами помогают не потерять разряд при вычитании.
Как найти первый член частного?
Нужно разделить старший член делимого на старший член делителя. Полученный одночлен становится первым членом частного.
Почему при делении нужно вычитать произведение, а не прибавлять его?
Произведение найденного члена частного и делителя должно убрать старший член текущего делимого. Поэтому из текущего делимого вычитают это произведение, меняя знаки у всех его слагаемых.
Когда следует остановить деление многочленов?
Деление заканчивают, когда текущий остаток равен нулю или его степень меньше степени делителя. Ненулевой остаток сам по себе не означает, что алгоритм завершён.
Как проверить частное и остаток?
Нужно умножить делитель на найденное частное и прибавить остаток. Если получилось исходное делимое, вычисления верны; дополнительно проверяют, что степень остатка меньше степени делителя.
§ 31. Деление многочленов
