§ 32. Корни многочлена. Теорема Безу

Определения и обозначения

Многочлен — это сумма одночленов, например P(x) = x³ − 3x + 2. Чтобы найти значение многочлена при заданном x, подставляют вместо переменной указанное число и выполняют вычисления. Так можно проверить свойства многочлена в конкретной точке. Обозначение P(a) означает значение P(x) при x = a.

Корень многочлена P(x) — число a, при подстановке которого получается нуль: P(a) = 0. Например, если P(2) = 0, то 2 — корень P(x). Это определение позволяет проверять числа вычислением. Корни помогают решать уравнения, записанные в виде P(x) = 0.

Остаток от деления многочленов — часть, которая остаётся после деления делимого на делитель. При делении P(x) на двучлен x − a остаток является числом, потому что делитель имеет первую степень. Теорема Безу показывает, что это число можно найти подстановкой: оно равно P(a). Значит, не всегда нужно выполнять деление столбиком.

Теорема Безу утверждает: остаток от деления многочлена P(x) на x − a равен значению P(a). Например, чтобы узнать остаток при делении на x − 2, вычисляют P(2). Теорема связывает деление многочлена с его значением в одной точке. С её помощью можно проверять делимость и находить множители.

Как это устроено

При делении многочлена на другой многочлен получают частное и остаток. Если делитель — x − a, его степень равна единице, поэтому остаток должен иметь степень меньше единицы. Единственное выражение меньшей степени — постоянное число; его и обозначают r. Поэтому запись деления имеет вид P(x) = (x − a)Q(x) + r, где Q(x) — частное.

Чтобы узнать, чему равен остаток r, подставим в эту запись x = a. Тогда множитель x − a станет равен нулю, и всё слагаемое (x − a)Q(x) исчезнет. Останется равенство P(a) = r. Так доказывается теорема Безу: остаток не нужно угадывать, его определяет значение многочлена в точке a.

Из равенства r = P(a) сразу следует критерий делимости. Если P(a) = 0, то r = 0, а деление проходит без остатка. И наоборот, если остатка нет, то r = 0 и потому P(a) = 0. Получается, P(x) делится на x − a без остатка тогда и только тогда, когда значение P(a) равно нулю.

Условие P(a) = 0 одновременно означает, что a — корень многочлена. Поэтому число a является корнем P(x) ровно тогда, когда x − a — его множитель: многочлен можно записать как P(x) = (x − a)Q(x). Это даёт связь между нахождением корней и разложением на множители. Зная корень, мы сразу знаем один из множителей.

Проверку предполагаемого корня начинают с подстановки: если значение не равно нулю, число не подходит и делить на соответствующий двучлен без остатка нельзя. Если значение равно нулю, теорема Безу подтверждает делимость. После этого выполняют деление на x − a и получают частное. Его можно разложить дальше, например найти корни квадратного многочлена и получить полное разложение.

Корень многочлена и деление на двучлен

Сначала найди строку, соответствующую известному условию, затем прочитай связанное с ним следствие. Например, если проверка показала P(a) = 0, то можно заключить, что a — корень и x − a делит многочлен без остатка. Таблица также помогает перейти от остатка к проверке корня.

Разбор задач

Задача 1. Проверить, является ли число 2 корнем многочлена P(x) = x³ − 3x + 2. По определению корня нужно узнать, обращается ли многочлен в нуль при x = 2. Подставим число вместо каждой переменной x. Только после вычисления можно делать вывод о корне.

1. Запишем значение: P(2) = 2³ − 3 · 2 + 2.
2. Вычислим: 8 − 6 + 2 = 4.
3. Сравним результат с нулём: 4 ≠ 0, значит, условие корня не выполнено.

Ответ: число 2 не является корнем P(x). Следовательно, многочлен не делится на x − 2 без остатка, а остаток равен 4.

Задача 2. Найти остаток от деления P(x) = 2x³ − x² + 4x − 7 на x − 2. Делитель имеет вид x − a, где a = 2. По теореме Безу вместо деления многочленов вычислим P(2). Следим за знаками каждого слагаемого при подстановке.

1. Подставим 2: P(2) = 2 · 2³ − 2² + 4 · 2 − 7.
2. Выполним возведение в степень и умножение: 16 − 4 + 8 − 7.
3. Сложим числа: 16 − 4 + 8 − 7 = 13.

Ответ: остаток равен 13. Это не частное от деления, а число P(2), как и утверждает теорема Безу.

Задача 3. Разложить P(x) = x³ − 4x² + x + 6 на множители, если известно, что один из корней равен 2. Известный корень позволяет сразу выделить множитель x − 2. Найдём частное делением многочлена на этот двучлен, а затем разложим квадратный результат.

1. Проверим корень: P(2) = 8 − 16 + 2 + 6 = 0. Поэтому x − 2 является множителем.
2. Разделим x³ − 4x² + x + 6 на x − 2 и получим частное x² − 2x − 3.
3. Разложим квадратный многочлен: x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1), поскольку −3 и 1 дают произведение −3 и сумму −2.

Ответ: P(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 1). При умножении множителей получается исходный многочлен, поэтому разложение можно проверить раскрытием скобок.

Типичные ошибки

Иногда корень многочлена путают с корнем уравнения, записанного иначе, и проверяют не то выражение. По определению нужно установить, равно ли нулю именно значение P(a). Ошибка возникает, если забыть привести условие к виду P(x) = 0. Для самопроверки подставь число в исходный многочлен и явно запиши полученный результат.

При делении на x − a некоторые подставляют −a, хотя этому двучлену соответствует число a. Например, при делителе x − 3 проверять нужно P(3), а не P(−3). Путаница появляется из-за знака перед числом в скобках. Проверь себя, приравняв x − a к нулю: получается x = a.

Остаток иногда принимают за частное или за коэффициент при x. Но после деления на линейный двучлен остаток — постоянное число, равное P(a); частное же обычно является многочленом. Ошибка связана с тем, что все результаты деления называют одним словом. Сверь запись P(x) = (x − a)Q(x) + r: Q(x) — частное, r — остаток.

Нельзя объявлять число корнем, пока не проверено значение P(a). Само предположение о корне не гарантирует, что деление на x − a будет без остатка. Иногда известное число просто подставляют в деление, не вычислив многочлен. Сначала найди P(a): только при результате 0 можно утверждать и о корне, и о делимости без остатка.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой Безу нужно уметь подставлять число вместо переменной и вычислять значение многочлена. Понадобится и деление многочлена на двучлен, чтобы после проверки корня получить частное. Эти действия опираются на знакомые правила вычислений с выражениями. Если они вызывают затруднение, полезно сначала потренироваться на простых многочленах.

Теорема Безу применяется при разложении многочленов на множители: найденный корень даёт один множитель, после чего исследуют частное. Это помогает решать уравнения высших степеней, сводя их к более простым уравнениям. Также с её помощью проверяют предполагаемые корни и быстро находят остатки. Поэтому тема связывает вычисление значений, деление и решение уравнений.

Что запомнить

• Число a — корень P(x), если P(a) = 0.
• Остаток при делении P(x) на x − a равен P(a).
• P(x) делится на x − a без остатка тогда и только тогда, когда P(a) = 0.
• Если a — корень многочлена, то x − a является его множителем.
• Чтобы проверить предполагаемый корень, достаточно подставить его в многочлен.