§ 33. Целое рациональное уравнение

Определения и обозначения

Целое рациональное выражение — выражение, составленное из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления на числа и возведения в целую неотрицательную степень; переменная не находится в знаменателе. Например, 3x² − 2x + 1 — целое рациональное выражение. Это понятие помогает отличать такие выражения от дробных, где переменная может быть в знаменателе.

Целое рациональное уравнение — уравнение, в котором левая и правая части являются целыми рациональными выражениями. Например, x³ − 4x = 0 подходит под определение: переменная нигде не стоит в знаменателе. По виду уравнения можно понять, какие преобразования применить для его решения.

Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого уравнение обращается в верное равенство. Например, для x − 3 = 0 корнем будет 3, потому что после подстановки получится 0 = 0. Понятие корня позволяет точно описать, какие значения нужно найти.

Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Найденных значений может быть несколько, поэтому важно не останавливаться на первом подходящем. Решение должно охватывать все возможные значения переменной.

Как это устроено

Чтобы распознать целое рациональное уравнение, проверьте, нет ли переменной в знаменателе. Степень переменной при этом может быть любой целой неотрицательной, а не только первой или второй. Поэтому уравнения с x³ и x⁴ тоже могут быть целыми рациональными. Эта проверка важна: при наличии переменной в знаменателе появляются дополнительные ограничения на допустимые значения.

Уравнение обычно приводят к виду P(x) = 0, перенося слагаемые из одной части в другую с противоположным знаком. Так все выражения с переменной оказываются рядом, и задача превращается в поиск нулей многочлена. Нулём многочлена называют значение переменной, при котором он равен нулю. Перенос не меняет корни, потому что к обеим частям применяют одно и то же действие.

Если P(x) удалось разложить на множители, можно применить правило нулевого произведения: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Например, из (x − 2)(x + 1) = 0 получаются два уравнения: x − 2 = 0 и x + 1 = 0. Их корни дают все решения исходного уравнения. Каждый множитель нужно рассмотреть отдельно, иначе часть корней потеряется.

Некоторые многочлены удобно раскладывать группировкой. Для этого слагаемые объединяют в группы, выносят общий множитель из каждой группы и стараются получить одинаковое выражение в скобках. Его можно вынести ещё раз, превратив сумму в произведение. Такой приём работает только тогда, когда после вынесения множителей скобки действительно совпадают.

Если в уравнении несколько раз встречается одно выражение в разных степенях, его можно заменить новой переменной. Например, при t = x² уравнение с x⁴ и x² становится квадратным относительно t, поскольку x⁴ = t². Сначала решают более простое уравнение для t, затем возвращаются к x. При обратной замене нужно учитывать, какие значения t вообще возможны для действительного x.

Способы решения целых рациональных уравнений

Пользуйтесь таблицей как кратким планом выбора метода: сравните вид уравнения с условиями применения и выполните указанные действия. В последнем столбце собраны проверки, которые помогают не потерять корни и не допустить ошибку в преобразованиях. Если подходят несколько приёмов, выбирайте тот, который даёт наиболее короткое разложение или уравнение.

Разбор задач

1. Решите уравнение x³ − 4x = 0.

В уравнении оба слагаемых содержат x, поэтому сначала вынесем этот общий множитель. Так получится произведение, равное нулю, а его удобно решать по правилу нулевого произведения. После решения каждого множителя соберём все найденные корни.

1. Выносим x за скобки: x(x² − 4) = 0. Проверяем, что при раскрытии скобок действительно получается x³ − 4x. Теперь произведение равно нулю.
2. Приравниваем множители к нулю: x = 0 или x² − 4 = 0. Из второго уравнения получаем x² = 4. Значит, x = −2 или x = 2.
3. Подставляем найденные значения в исходное уравнение: при каждом из них левая часть равна нулю. Все корни учтены, потому что рассмотрены оба множителя. Ответ: −2, 0, 2.

2. Решите уравнение x³ + 2x² − 9x − 18 = 0.

Общего множителя у всех четырёх слагаемых нет, зато их удобно разделить на две пары. Подберём пары так, чтобы вынесение общего множителя дало одинаковые скобки. Тогда можно будет вынести эти скобки ещё раз и получить произведение.

1. Группируем слагаемые: (x³ + 2x²) + (−9x − 18) = 0. В первой паре выносим x², а во второй — −9. Получаем x²(x + 2) − 9(x + 2) = 0.
2. Скобка x + 2 повторяется, поэтому выносим её: (x + 2)(x² − 9) = 0. Разность квадратов раскладывается так: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Получаем три множителя.
3. Приравниваем каждый множитель к нулю: x + 2 = 0, x − 3 = 0 или x + 3 = 0. Отсюда x = −2, x = 3 или x = −3. Подстановка показывает, что все три значения подходят; ответ: −3, −2, 3.

3. Решите уравнение x⁴ − 5x² + 4 = 0.

Переменная встречается в степенях 4 и 2, причём x⁴ = (x²)². Поэтому выражение похоже на квадратный трёхчлен, если считать x² одной величиной. После решения уравнения для новой переменной нужно вернуться к исходному x.

1. Вводим замену t = x², тогда x⁴ = t². Получаем квадратное уравнение t² − 5t + 4 = 0. Разложим его на множители: (t − 1)(t − 4) = 0.
2. Решаем уравнение относительно t: t = 1 или t = 4. Оба значения допустимы, потому что при замене t = x² для действительных x должно выполняться t ≥ 0. Теперь выполняем обратную замену.
3. Из x² = 1 получаем x = −1 или x = 1, а из x² = 4 — x = −2 или x = 2. Подстановка каждого значения в исходное уравнение даёт верное равенство. Ответ: −2, −1, 1, 2.

Типичные ошибки

После разложения произведения на множители иногда приравнивают к нулю только один множитель и теряют остальные корни. Обычно так происходит, когда правило нулевого произведения применяют не полностью. Запишите отдельное уравнение для каждого множителя и проверьте, что ни один из них не пропущен.

При группировке можно вынести разные множители и ошибочно решить, что разложение готово, хотя одинаковых скобок не получилось. Причина — неверный выбор пар или ошибка со знаком при вынесении общего множителя. Раскройте полученные скобки: исходный многочлен должен восстановиться без изменений.

При замене t = x² иногда принимают отрицательное значение t или забывают вернуться к x. Это происходит, если решать новое уравнение отдельно от исходного. Учтите условие t ≥ 0, выполните обратную замену и проверьте, какие значения x получаются.

Найденные корни преобразованного уравнения могут остаться непроверенными в исходном. Тогда незамеченной будет ошибка в разложении, преобразовании или обратной замене. Подставьте каждый ответ в исходное уравнение и убедитесь, что левая и правая части равны.

Связь с другими темами

Для решения целых рациональных уравнений нужны навыки раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и разложения многочленов на множители. Также важно уметь решать квадратные уравнения: они появляются и при замене переменной, и при разложении многочлена. Освоенные приёмы позволяют решать уравнения более высокой степени и задачи, которые сводятся к уравнениям с многочленами.

Что запомнить

• В целой рациональной части уравнения переменная не стоит в знаменателе.
• Корень уравнения — значение переменной, превращающее равенство в верное.
• Перенос слагаемых и умножение обеих частей на одно и то же ненулевое число сохраняют равносильность уравнений.
• Если произведение равно нулю, хотя бы один его множитель равен нулю.
• При замене переменной нужно учитывать ограничения на её значения.
• После решения полезно проверить найденные значения подстановкой в исходное уравнение.