Главы 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Определения и обозначения

Правило суммы — способ найти общее число вариантов, складывая количества вариантов в непересекающихся группах. Группы непересекающиеся, если один и тот же выбор не попадает сразу в две из них. Правило нужно, когда выбирают что-то одно из нескольких разных способов.

Правило произведения — способ подсчитать варианты последовательного выполнения нескольких шагов выбора. Если первый шаг можно выполнить m способами, а второй — n способами, то вместе получается m · n вариантов. Это правило помогает не перечислять вручную все сочетания.

Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные результаты можно описать. Каждый отдельный результат опыта называется исходом. Эти понятия нужны, чтобы точно обозначить, что именно может произойти, например при броске кубика.

Случайное событие — утверждение о результате опыта, которое может произойти, а может и не произойти. Исходы, при которых событие происходит, называются благоприятными для него. Понятие события позволяет задавать вопрос о вероятности не одного исхода, а целого набора результатов.

Вероятность события при равновозможных исходах — отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов: P(A) = m/n. Здесь m — число исходов, при которых происходит событие A, а n — общее число исходов. Формула нужна, чтобы выразить долю подходящих результатов числом от 0 до 1.

Как это устроено

Представь, что варианты выбора разделили на группы и нужно взять только один вариант. Если группы не пересекаются, один вариант нельзя посчитать дважды, поэтому общее количество складывается из количества вариантов в каждой группе. Например, при выборе напитка из соков или чаёв достаточно сложить число соков и число чаёв. Если группы пересекаются, сначала нужно разобраться с повторяющимися вариантами, иначе сумма окажется завышенной.

При последовательном выборе каждый вариант первого шага можно соединить с каждым вариантом следующего шага. Поэтому для каждого из m первых выборов есть n продолжений, всего m · n сочетаний. Дерево вариантов наглядно показывает это: от каждой ветви первого шага отходят ветви второго, и число конечных ветвей равно произведению. При нескольких шагах перемножают число возможностей на каждом шаге.

Чтобы исследовать случайный опыт, сначала перечисляют все его возможные исходы. Затем задают событие и отмечают исходы, при которых оно выполняется: именно они будут благоприятными. Например, при броске кубика исходы — числа от 1 до 6, а событию «выпало чётное число» благоприятствуют 2, 4 и 6. Такой порядок не даёт спутать исход с самим событием.

Если все исходы равновозможны, вероятность находят делением числа благоприятных исходов на число всех исходов: P(A) = m/n. Благоприятные исходы входят в множество всех исходов, поэтому 0 ≤ m ≤ n и 0 ≤ P(A) ≤ 1. Когда подходит ни один исход, вероятность равна 0; когда подходят все исходы — 1. Если исходы имеют разные шансы, простое отношение m/n применять нельзя.

Правила суммы и произведения помогают считать исходы, когда их много и перечислять их неудобно. Для вероятности сначала находят общее число исходов, а затем — сколько из них благоприятствует событию. Если выбор состоит из этапов, произведение может дать число всех сочетаний; если подходящие результаты образуют отдельные группы, их количество можно сложить. Так комбинаторный подсчёт становится частью решения задачи на вероятность.

Основные понятия и способы подсчёта

Сначала определи, что именно выбирают: один вариант или последовательность вариантов. Затем проверь, можно ли считать исходы равновозможными, если требуется вероятность. Таблица помогает выбрать правило и не смешивать подсчёт вариантов с определением исходов.

Разбор задач

Выбор напитка

В меню есть 4 вида сока и 3 вида чая. Нужно выбрать один напиток, поэтому одновременно сок и чай не берут. Группы вариантов не пересекаются: напиток либо сок, либо чай. Значит, подходит правило суммы.

1. Выделим две группы: 4 вида сока и 3 вида чая. Один и тот же напиток не относится к обеим группам. Поэтому можно сложить количества вариантов.
2. Вычислим общее число способов: 4 + 3 = 7. Это количество всех напитков, которые можно выбрать по условию.

Ответ: 7 способов.

Составление кода

Код состоит из одной буквы из трёх возможных и одной цифры из пяти возможных. Выбор буквы — первый шаг, выбор цифры — второй. Каждую букву можно соединить с каждой цифрой, поэтому применяем правило произведения.

1. На первом шаге есть 3 варианта буквы, на втором — 5 вариантов цифры. Выбор на одном шаге не убирает варианты другого шага. Значит, для каждой буквы доступны все пять цифр.
2. Перемножим числа вариантов: 3 · 5 = 15. Каждое полученное сочетание буквы и цифры задаёт отдельный код.

Ответ: можно составить 15 кодов.

Извлечение шара

В коробке лежат 5 красных и 3 синих одинаковых по размеру шара. Наугад вынимают один шар, а событие A — «вынут красный шар». Все шары имеют одинаковый шанс быть выбранными, поэтому исходы равновозможны. Можно использовать отношение благоприятных исходов к общему числу.

1. Посчитаем все возможные исходы: каждый из 5 красных и 3 синих шаров может оказаться вынутым, всего 5 + 3 = 8 исходов. Благоприятны событию A исходы, соответствующие красным шарам. Их 5.
2. Подставим числа в формулу: P(A) = 5/8. Дробь показывает долю красных шаров среди всех шаров и уже является точным ответом.

Ответ: вероятность вынуть красный шар равна 5/8.

Типичные ошибки

При последовательных шагах выбора иногда складывают числа вариантов. Так делают, потому что замечают несколько чисел в условии, но не учитывают, что каждому варианту первого шага соответствуют продолжения второго. Нужно перемножать количества способов на шагах. Проверка: нарисуй дерево вариантов и посчитай конечные ветви.

Обратная ошибка — перемножить числа, когда требуется выбрать один способ из нескольких взаимоисключающих. Она возникает, если правило произведения применяют ко всем задачам с несколькими числами. Здесь нужно сложить количества вариантов в группах. Проверь, выполняются ли выборы одновременно по этапам или выбирается только один вариант из групп.

В формулу вероятности могут включить не все исходы или считать исходы равновозможными без основания. Тогда отношение благоприятных исходов к общему числу не отражает вероятность. Сначала перечисли полный набор исходов и выясни, одинаковы ли их шансы. Если это не так, формулу P(A) = m/n применять нельзя.

Вероятность иногда записывают больше 1 или меньше 0 из-за ошибки в подсчёте либо делении. Такое значение невозможно, потому что благоприятные исходы составляют часть всех исходов. Проверь, что числитель не больше знаменателя и оба числа посчитаны правильно. Любая вероятность должна находиться в пределах от 0 до 1 включительно.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны действия с натуральными числами и дробями: варианты складывают, перемножают, а вероятность часто записывают дробью. Понимание отношения величин помогает истолковать вероятность как долю благоприятных исходов среди всех. Эти навыки позволяют не только получить ответ, но и проверить, разумен ли он.

Комбинаторные правила помогают находить числа, которые входят в формулу вероятности. Например, произведение подсчитывает все сочетания при нескольких этапах выбора, а сумма — варианты из разных групп. Позже представления о вероятности пригодятся при анализе статистических данных и изучении теории вероятностей.

Что запомнить

• Для выбора одного варианта из непересекающихся групп используют правило суммы.
• Для последовательных шагов выбора используют правило произведения.
• Исход опыта — один из возможных результатов случайного опыта.
• Событие происходит, если результат опыта относится к благоприятным исходам.
• Для равновозможных исходов вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов.
• Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного — 0.