"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Деление многочленов помогает представить один многочлен как произведение другого многочлена и частного, а иногда ещё и остатка. На одночлен делят каждый член отдельно; при делении на многочлен последовательно работают со старшими членами, умножают и вычитают. Деление заканчивают, когда остаток имеет меньшую степень, чем делитель. Проверить вычисления можно равенством: делимое = делитель · частное + остаток.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делимое многочленов — многочлен, который делят. В записи A : B = Q оно обозначено буквой A и стоит перед знаком деления. Понимание роли делимого помогает не перепутать его с многочленом, на который выполняют деление.
Делитель многочленов — многочлен, на который делят. В записи A : B = Q это B, а в равенстве с остатком он умножается на частное. Делитель не может быть нулевым многочленом: на ноль делить нельзя, так как тогда результат не определялся бы однозначно.
Частное многочленов — многочлен, который при умножении на делитель даёт делимое, если остатка нет. Например, если A = B · Q, то Q — частное при делении A на B. Оно показывает, во сколько раз делитель входит в делимое в смысле умножения многочленов.
Остаток при делении многочленов — многочлен, который прибавляют к произведению делителя и частного, чтобы получить делимое. Обозначая его R, записывают A = B · Q + R; если деление нацело, R = 0. При ненулевом остатке его степень должна быть меньше степени делителя, поэтому дальше деление продолжать уже нельзя.
При делении многочлена на одночлен каждый его член делят на этот одночлен отдельно. Это возможно благодаря распределительному свойству: сумму можно умножить на общее число или одночлен, умножая каждое слагаемое; деление обращает такое умножение. Поэтому сумма отдельных частных вместе даёт искомый многочлен, если деление каждого члена допустимо.
Перед делением многочлена на многочлен члены делимого и делителя располагают по убыванию степеней переменной. Тогда старший член каждого выражения виден сразу, и можно правильно сопоставить части с наибольшими степенями. Если какой-либо степени в делимом нет, при вычислениях её можно записать с коэффициентом 0: это помогает не сдвинуть остальные члены.
Первый член частного находят, разделив старший член делимого на старший член делителя. Его выбирают так, чтобы после умножения на делитель старший член произведения совпал со старшим членом делимого. Затем произведение вычитают: старшие члены сокращаются, и остаётся выражение меньшей степени, с которым можно работать дальше.
Для полученной разности повторяют тот же шаг: её старший член делят на старший член делителя, результат добавляют к частному, а произведение вычитают. Каждый раз старшие члены сокращаются, поэтому степень текущей разности уменьшается. Процесс продолжают, пока разность не станет нулём или её степень не окажется меньше степени делителя.
Результат обязательно проверяют равенством: делимое равно произведению делителя и частного плюс остаток. Оно проверяет весь ход вычислений, поскольку в нём должны восстановиться все члены делимого и их коэффициенты. При делении нацело остатка нет, поэтому равенство упрощается до «делимое = делитель · частное».
| Случай | Как выполнять | Что должно получиться |
|---|---|---|
| Деление многочлена на одночлен | Разделить каждый член на одночлен отдельно. | Сумма полученных частных; деление каждого члена должно быть определено. |
| Деление многочлена на многочлен без остатка | Упорядочить члены, затем повторять деление старших членов, умножение и вычитание. | Частное, при умножении на делитель дающее делимое. |
| Деление многочлена на многочлен с остатком | Выполнять те же шаги, пока степень разности не станет меньше степени делителя. | Частное и остаток меньшей степени, чем делитель. |
Сначала найди в таблице случай, который соответствует заданию, затем следуй указанному способу. Для проверки результата используй равенство «делимое = делитель · частное + остаток». При делении нацело подставь нулевой остаток.
Задача. Разделите многочлен 6x³ − 9x² + 3x на одночлен 3x. Каждый член делимого разделим на 3x, не объединяя их заранее. Так сохраняются отдельные слагаемые исходного многочлена, а полученные частные можно записать как многочлен.
Ответ: 2x² − 3x + 1. Проверка: 3x(2x² − 3x + 1) = 6x³ − 9x² + 3x. Произведение совпало с делимым, значит, частное найдено верно.
Задача. Разделите 2x³ + 3x² − 5x − 6 на x + 2. Члены уже упорядочены по убыванию степеней, поэтому начнём со старших членов. После каждого умножения вычтем полученное произведение целиком, чтобы сократить текущий старший член.
Ответ: 2x² − x − 3. Остаток равен нулю, то есть деление выполнено нацело. Проверка умножением: (x + 2)(2x² − x − 3) = 2x³ + 3x² − 5x − 6.
Задача. Разделите 2x³ + x² − 5x + 1 на x − 1 и проверьте результат. Степени членов делимого расположены по убыванию, а у делителя старший член — x. Продолжим шаги, пока полученная разность не станет постоянным числом: тогда её степень будет меньше степени делителя.
Ответ: частное 2x² + 3x − 2, остаток −1. Степень ненулевого остатка равна 0, а степень делителя равна 1, поэтому деление остановлено правильно. Проверка: (x − 1)(2x² + 3x − 2) − 1 = 2x³ + x² − 5x + 1.
При делении на одночлен иногда делят только первый член многочлена, а остальные оставляют без изменений. Так происходит, если воспринимать деление как действие лишь с первым слагаемым, а не как распределение по сумме. Проверь каждый член по очереди: в ответе не должно оставаться необработанных слагаемых делимого.
Если не упорядочить члены или потерять отсутствующую степень, при вычитании легко сопоставить слагаемые неправильно. Например, между x³ и x должно быть учтено слагаемое с x², даже если его коэффициент равен нулю. Перед вычислениями запиши степени по порядку, а после каждого шага сравнивай члены одинаковых степеней.
При вычитании произведения можно поменять знак только у первого его члена и оставить остальные знаки прежними. Ошибка возникает потому, что минус перед скобками относится ко всему произведению. Раскрой скобки с минусом или поменяй знаки у каждого члена, а затем проверь, что старшие члены действительно сократились.
Иногда деление останавливают сразу, как только остаток перестал быть нулём. Но ненулевой остаток допустим, если его степень всё ещё не меньше степени делителя: тогда следующий шаг деления возможен. Сравни степени остатка и делителя и останавливайся только при меньшей степени; после этого проверь равенство с остатком.
Чтобы делить многочлены, нужно уметь складывать и вычитать их, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Также пригодятся правила действий со степенями и деление одночлена на одночлен: на этих умениях основан каждый шаг деления. В дальнейшем деление используют при разложении многочленов на множители и решении уравнений. Проверка произведением помогает установить, делится ли многочлен нацело.
Как разделить многочлен на одночлен?
Раздели каждый член многочлена на одночлен отдельно, сохраняя знаки и складывая полученные выражения. Затем проверь, что каждый исходный член действительно был разделён.
Почему перед делением нужно упорядочить члены многочлена?
Так удобнее сопоставлять старшие члены и последовательно находить члены частного. Если пропущена какая-то степень, её учитывают как член с нулевым коэффициентом.
Как найти первый член частного?
Раздели старший член делимого на старший член делителя. Полученный член умножь на весь делитель и вычти это произведение из делимого.
Когда нужно остановить деление многочленов?
Остановись, когда полученная разность равна нулю или её степень меньше степени делителя. Такая разность и будет остатком.
Как проверить деление с остатком?
Умножь делитель на частное и прибавь остаток: должно получиться делимое. Также проверь, что степень ненулевого остатка меньше степени делителя.
§ 2. Деление многочленов
