§ 1. Основные операции над многочленами

Определения и обозначения

Многочлен — сумма одночленов, в которой показатели степеней переменных являются неотрицательными целыми числами. Например, 4x³ − 2x + 7 состоит из трёх одночленов. Подобные слагаемые обычно приводят, то есть объединяют в один одночлен, складывая их коэффициенты.

Сложение и вычитание многочленов — операции, при которых складывают или вычитают коэффициенты одночленов с одинаковой буквенной частью. Например, 3x² и −5x² подобны, поэтому их можно заменить на −2x². Это позволяет заменить длинное выражение более коротким, не изменяя его значения.

Умножение многочлена на одночлен — операция, при которой одночлен умножают на каждый член многочлена. Если перед скобками стоит 2x, оно должно попасть во все слагаемые внутри скобок. Такое правило помогает раскрывать скобки без потери членов.

Умножение многочленов основано на распределительном свойстве: каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого. Например, в произведении двух двучленов появляются четыре попарных произведения. Затем одинаковые по буквенной части слагаемые объединяют.

Как это устроено

Чтобы записать многочлен в стандартном виде, сначала раскрывают скобки, затем находят подобные слагаемые и приводят их. После этого члены располагают по убыванию степеней переменной. Например, выражение 2x + 3x² − 1 после упорядочивания имеет вид 3x² + 2x − 1.

При сложении удобно убрать внешние скобки, сохранив знаки всех слагаемых. Затем группируют одночлены с одинаковой буквенной частью и складывают их коэффициенты. Причина такого действия в том, что подобные одночлены отличаются только числовым множителем: 4x² + 3x² = 7x².

При вычитании второй многочлен фактически умножается на −1. Поэтому знак меняется у каждого его члена: A − (B − C) = A − B + C. Только после такой замены можно раскрыть скобки и объединить подобные слагаемые.

Правило умножения многочлена на одночлен следует из распределительного свойства умножения относительно сложения: a(b + c) = ab + ac. Поэтому множитель перед скобками нужно последовательно умножить на каждый член внутри неё. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: x² · x³ = x⁵.

При умножении двух многочленов распределительное свойство применяется несколько раз. Каждый член первого многочлена образует произведение с каждым членом второго, потому что пропустить такой шаг означало бы изменить исходное выражение. Полученные одночлены записывают вместе, а затем приводят те, у которых совпадают буквенные части.

Основные операции над многочленами

Сначала определите вид операции и выполните её основное правило. Затем обязательно проверьте, не появились ли подобные слагаемые. Последняя строка таблицы напоминает, что аккуратная запись результата — часть решения.

Разбор задач

Задача 1. Упростить выражение (3x² − 2x + 1) + (x² + 5x − 4). Нужно сложить два многочлена и объединить члены одинаковой степени. Знаки второго многочлена при сложении сохраняются.

1. Уберём скобки: 3x² − 2x + 1 + x² + 5x − 4.
2. Сгруппируем подобные слагаемые: (3x² + x²) + (−2x + 5x) + (1 − 4).
3. Сложим коэффициенты: 4x² + 3x − 3.

Ответ: 4x² + 3x − 3.

Задача 2. Раскрыть скобки и упростить 2x(3x² − x + 4) − (x² − 2x + 1). В первой части одночлен умножается на каждый член скобок. Во второй части минус изменит знаки всех трёх слагаемых.

1. Раскроем первую скобку: 2x · 3x² − 2x · x + 2x · 4 = 6x³ − 2x² + 8x.
2. Раскроем вторую скобку с учётом минуса: −(x² − 2x + 1) = −x² + 2x − 1.
3. Объединим подобные слагаемые: 6x³ − 2x² − x² + 8x + 2x − 1 = 6x³ − 3x² + 10x − 1.

Ответ: 6x³ − 3x² + 10x − 1.

Задача 3. Перемножить (2x² − 3x + 1)(x² + 2x − 4). Здесь каждый из трёх членов первого многочлена должен встретиться с каждым из трёх членов второго. После умножения девять произведений нужно сгруппировать по степеням x.

1. Умножим 2x² на второй многочлен: 2x⁴ + 4x³ − 8x².
2. Умножим −3x: −3x³ − 6x² + 12x.
3. Умножим 1: x² + 2x − 4.
4. Сложим результаты: 2x⁴ + (4x³ − 3x³) + (−8x² − 6x² + x²) + (12x + 2x) − 4.
5. Приведём подобные: 2x⁴ + x³ − 13x² + 14x − 4.

Ответ: 2x⁴ + x³ − 13x² + 14x − 4.

Типичные ошибки

При вычитании иногда меняют знак только у первого члена в скобках. Так происходит, если минус воспринимают как знак одного слагаемого, хотя он умножает весь многочлен на −1. Для проверки раскройте скобки мысленно по одному члену: каждый знак должен измениться.

При умножении многочлена на одночлен могут умножить только первый член. Причина — распределительное свойство применяют не ко всей сумме, а лишь к её началу. Проверьте число полученных произведений: оно должно совпадать с числом членов многочлена в скобках.

При умножении степеней с одинаковым основанием некоторые перемножают показатели: x² · x³ ошибочно превращают в x⁶. Такое правило относится к возведению степени в степень, а при умножении показатели складываются: x² · x³ = x⁵. Запишите основания рядом и пересчитайте показатель.

Слагаемые 2x и 2x² иногда считают подобными, потому что их коэффициенты совпадают. Но буквенные части и степени различаются, поэтому объединять их нельзя. Сравнивайте не только числа перед буквами, но и всю буквенную часть.

Связь с другими темами

До изучения операций над многочленами нужно знать одночлены, коэффициент, буквенную часть и подобные слагаемые. Также понадобятся распределительное свойство, правила действий со знаками и степени.

Эти операции используются при раскрытии скобок и преобразовании алгебраических выражений. Они необходимы при разложении многочленов на множители и решении уравнений, где сначала требуется привести выражение к удобному виду.

Что запомнить

• Перед выполнением операций удобно привести многочлены к стандартному виду.
• При сложении складывают коэффициенты только у подобных одночленов.
• Минус перед скобками меняет знаки всех её членов.
• Одночлен умножают на каждый член многочлена.
• При умножении многочленов каждый член первого умножают на каждый член второго.
• После раскрытия скобок приводят подобные слагаемые.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.