§ 3. Гомотетия плоскости

Определения и обозначения

Гомотетия — преобразование плоскости, при котором каждой точке X соответствует точка X′ по правилу OX′ = k·OX. Здесь OX и OX′ — векторы, то есть направленные отрезки от центра к точкам. Правило показывает, что образ лежит на прямой OX, а его положение зависит от числа k. Оно позволяет находить образ точки и описывать преобразование всей фигуры.

Центр гомотетии — фиксированная точка O, относительно которой рассматривают направления и расстояния до исходных точек и их образов. Её называют фиксированной, потому что при преобразовании она остаётся на месте. Центр нужен, чтобы определить, откуда проводить лучи и от какой точки измерять расстояния. Без него нельзя задать конкретную гомотетию.

Коэффициент гомотетии — число k, которое задаёт масштаб изображения и положение образа относительно центра. Его модуль определяет, во сколько раз изменится расстояние, а знак — на каком луче окажется образ. Например, |k| больше 1 означает увеличение, а |k| меньше 1 — уменьшение. Коэффициент помогает заранее понять результат преобразования.

Образ фигуры при гомотетии — фигура, составленная из образов всех точек исходной фигуры. Чтобы получить её, нужно преобразовать каждую точку исходной фигуры по одному и тому же правилу. Для многоугольника достаточно найти образы вершин и соединить их в прежнем порядке. Это понятие позволяет перейти от построения одной точки к преобразованию всей фигуры.

Как это устроено

Вектор OX направлен от центра к исходной точке, а умножение на число k сохраняет или меняет его направление и длину. Поэтому вектор OX′ оказывается кратным вектору OX и лежит с ним на одной прямой. Так получается равенство OX′ = k·OX, которое однозначно задаёт образ точки. Если исходная точка совпала с центром, её вектор равен нулю, поэтому она остаётся на месте.

Знак k определяет направление вектора образа: умножение на положительное число сохраняет направление, а на отрицательное — разворачивает его. Поэтому при k > 0 точка и образ находятся на одном луче из O, а при k < 0 — на противоположных лучах. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому его находят умножением на |k|. Знак отвечает за направление, а не за длину.

Если |k| больше 1, расстояние от центра до каждой точки увеличивается, а если 0 < |k| < 1 — уменьшается. Длины любых отрезков также умножаются на |k|, поскольку все точки фигуры растягиваются или сжимаются в одинаковом масштабе. Площадь зависит от двух измерений: например, у прямоугольника меняются и длина, и ширина. Поэтому площадь умножается на |k|², то есть на k², и не зависит от знака коэффициента.

Для построения образа точки проведи через неё и центр прямую, выбери нужный луч по знаку k и отложи от центра расстояние, умноженное на |k|. У отрезка построй образы обоих концов и соедини их: полученный отрезок будет его образом. Для многоугольника так же найди образы всех вершин, а затем соедини соседние вершины в исходном порядке. Такой способ работает, потому что гомотетия задана для каждой точки одним и тем же центром и коэффициентом.

Точки прямой, не проходящей через центр, после гомотетии оказываются на прямой, параллельной исходной: их положение относительно центра меняется в одинаковом масштабе, но сама прямая сдвигается. Если прямая проходит через центр, каждая её точка и образ лежат на этой же прямой, поэтому она переходит в себя. Углы сохраняются, потому что направления сторон при преобразовании меняются согласованно, а все длины умножаются на один и тот же модуль коэффициента. Поэтому исходная фигура и её образ подобны.

Основные свойства гомотетии

В таблице собраны свойства, которые помогают определить результат гомотетии, не выполняя построение целиком. Сначала проверь знак и модуль коэффициента, затем выбери нужное свойство: например, для периметра используй |k|, а для площади — k². Уточняй, проходит ли прямая через центр: от этого зависит, перейдёт ли она в себя или в параллельную прямую.

Разбор задач

Координаты образа точки

Условие. Центр гомотетии O совпадает с началом координат, коэффициент k = 2, точка A имеет координаты (1; −2). Найдите координаты образа A′. Поскольку центр — начало координат, координаты вектора OA совпадают с координатами точки A. Значит, нужно умножить обе координаты на коэффициент.

1. Записываем правило для координат: x′ = kx и y′ = ky.
2. Подставляем k = 2 и координаты A: x′ = 2 · 1 = 2, y′ = 2 · (−2) = −4.
3. Объединяем результаты в координаты образа: A′(2; −4).

Ответ: A′(2; −4). Обе координаты умножились на одно число, как и требует гомотетия с центром в начале координат. Знак второй координаты остался отрицательным, поскольку коэффициент положительный. Расстояние от центра до точки увеличилось в два раза.

Поиск коэффициента по координатам

Условие. Даны центр O(2; −1), точка A(4; 1) и её образ A′(−4; −7). Найдите коэффициент гомотетии и проверьте его по векторному равенству. Координаты векторов нужно отсчитывать от O, а не от начала координат. После этого сравним соответствующие координаты векторов.

1. Находим OA = (4 − 2; 1 − (−1)) = (2; 2).
2. Находим OA′ = (−4 − 2; −7 − (−1)) = (−6; −6).
3. Сравниваем координаты: −6 = k · 2, поэтому k = −3. Проверка по второй координате даёт −6 = −3 · 2, значит, общий коэффициент найден верно.

Ответ: k = −3. Вектор OA′ действительно равен −3·OA, поэтому векторное правило выполняется. Отрицательный знак означает, что образы расположены по противоположную сторону от центра. Расстояние от центра увеличилось в три раза.

Образ треугольника, периметр и площадь

Условие. Треугольник ABC имеет вершины A(1; 1), B(4; 1), C(1; 3) и преобразуется с центром в начале координат и коэффициентом k = −2. Требуется найти координаты образа, его периметр и площадь. Координаты вершин сначала умножим на k. Для периметра и площади применим разные множители, потому что это величины разного типа.

1. Находим образы вершин: A′(−2; −2), B′(−8; −2), C′(−2; −6).
2. У исходного треугольника катеты равны 3 и 2, гипотенуза — √(3² + 2²) = √13. Его периметр равен 5 + √13, а площадь — ½ · 3 · 2 = 3.
3. Длины умножаются на |−2| = 2, поэтому периметр образа равен 2(5 + √13) = 10 + 2√13. Площадь умножается на (−2)² = 4, поэтому она равна 3 · 4 = 12.

Ответ: A′(−2; −2), B′(−8; −2), C′(−2; −6); периметр 10 + 2√13, площадь 12. Отрицательный коэффициент изменил расположение вершин на противоположную сторону от центра. На величины периметра и площади знак не влияет: их масштаб задают соответственно |k| и k².

Типичные ошибки

• Используют k вместо |k| для длины. Так получают отрицательное расстояние, хотя длина всегда неотрицательна. Ошибку допускают, смешивая направление с размером. Проверь себя: длину умножают на |k|, а знак k учитывают при выборе луча.
• При k < 0 строят образ на том же луче. Так поступают, если замечают масштаб, но забывают о знаке коэффициента. Проведи прямую через центр и исходную точку, затем проверь: при отрицательном k образ должен лежать на противоположном луче.
• Считают, что любая прямая переходит в себя. Это верно только для прямой, проходящей через центр; остальные переходят в параллельные им прямые. Ошибка возникает из-за того, что точки и образы лежат на прямых через центр. Проверка проста: выясни, принадлежит ли центр исходной прямой.
• Умножают площадь на |k|. Площадь меняется не как одна длина, а вместе с двумя измерениями, поэтому её множитель — k². Ошибку легко заметить, сравнив, например, обе стороны прямоугольника до и после преобразования. Проверь вычисление: множитель площади должен быть квадратом модуля коэффициента.

Связь с другими темами

Для работы с гомотетией нужны координаты точек и векторов: они помогают записать правило и вычислить образы. Также пригодятся отношения отрезков и параллельность прямых, на которых основаны свойства преобразования. Гомотетия — частный случай преобразований плоскости, который наглядно объясняет подобие треугольников и пропорциональность сторон. Эти знания применяются в задачах на построение фигур, масштаб, периметр и площадь; при k = −1 они связываются с центральной симметрией.

Что запомнить

• Основное равенство гомотетии: OX′ = k·OX.
• Центр гомотетии остаётся неподвижным.
• При положительном k точка и её образ находятся на одном луче, при отрицательном — на противоположных.
• Длины и периметры умножаются на |k|.
• Площади умножаются на k².
• Гомотетичные фигуры имеют равные соответствующие углы и пропорциональные стороны.
• При k = −1 гомотетия превращается в центральную симметрию.