§ 2. Гомотетичные фигуры

Определения и обозначения

Гомотетия — преобразование плоскости с центром O и ненулевым коэффициентом k, при котором точка A переходит в A′ так, что вектор OA′ равен k вектору OA. Иными словами, образ находится на прямой OA, а его положение и расстояние от O задаются числом k. Это определение позволяет построить образ любой точки.

Центр гомотетии — неподвижная точка O, относительно которой расположены исходные точки и их образы. Для любой точки A центр и точки A, A′ лежат на одной прямой. Центр служит началом отсчёта расстояний и помогает определить направление построения.

Коэффициент гомотетии — число k, задающее изменение расстояний и направление образов: при k > 0 образ лежит на том же луче, при k < 0 — на противоположном. Его модуль |k| показывает, во сколько раз меняются расстояния от центра. Поэтому знак отвечает за положение, а модуль — за размер.

Гомотетичные фигуры — фигуры, каждая точка одной из которых является образом соответствующей точки другой при одной и той же гомотетии. Например, всем вершинам исходной фигуры соответствуют вершины образа, построенные с общим центром и коэффициентом. Это понятие позволяет сравнивать фигуры и применять к ним общие свойства гомотетии.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A, сначала проводят прямую через центр O и точку A: образ обязан лежать на этой прямой, поскольку векторы OA и OA′ направлены вдоль неё. Затем расстояние OA умножают на |k|. Если k положителен, нужное расстояние откладывают от O в сторону A, а если отрицателен — в противоположную сторону. Например, при k = −2 образ окажется на противоположном луче и будет вдвое дальше от центра.

Почему образ прямой, не проходящей через центр, параллелен исходной? Возьмём две её точки A и B и их образы A′ и B′. Векторы OA и OB умножаются на одно и то же число k, поэтому разность векторов между образами тоже получается умножением исходной разности на k. Значит, направление отрезка A′B′ совпадает с направлением AB или противоположно ему, а сами прямые параллельны. Если исходная прямая проходит через центр, она переходит в ту же прямую.

Соответствующие отрезки гомотетичных фигур параллельны или лежат на одной прямой, а их длины относятся как |k|. Причина в том, что оба конца отрезка перемещаются по одному правилу: их координаты относительно центра умножаются на k. Поэтому вектор нового отрезка равен k, умноженному на вектор исходного. Длина вектора не может быть отрицательной, так что отношение длин равно модулю коэффициента.

При гомотетии сохраняются величины углов. Каждая сторона угла переходит в прямую, параллельную исходной стороне, либо в ту же прямую, если она проходит через центр. Угол между такими направлениями не меняется; если обе стороны направлены в противоположную сторону, величина угла также остаётся прежней. Поэтому соответствующие углы исходной фигуры и её образа равны.

Площадь образа относится к площади исходной фигуры как k². Действительно, можно представить площадь через произведение двух линейных размеров, например основания на высоту. Каждый из них увеличивается или уменьшается в |k| раз, поэтому площадь умножается на |k| · |k| = k². Квадрат убирает влияние знака: и при положительном, и при отрицательном коэффициенте площадь остаётся положительной.

Свойства гомотетичных фигур

Сначала определи, о чём спрашивается: о положении точки, длине, угле или площади. Для положения учитывай знак k, а для длин и площадей используй модуль или квадрат коэффициента. Если соответствующая прямая проходит через центр, она не параллельна другой прямой, а совпадает с ней.

Разбор задач

Расстояние до образа точки

При гомотетии с центром O и коэффициентом 3 точка A находится на расстоянии 2 см от O. Найдите расстояние от O до образа A′ и укажите его положение. Поскольку коэффициент положительный, точка A′ будет на том же луче, что и A. Расстояние нужно умножить на модуль коэффициента.

1. Выделим данные: OA = 2 см, k = 3.
2. Найдём расстояние до образа: OA′ = |3| · 2 = 6 см.
3. Так как 3 > 0, расположим A′ на луче OA.

Ответ: OA′ = 6 см, точка A′ лежит на том же луче, что и A. Проверка проста: расстояние увеличилось в три раза, как и задаёт коэффициент.

Длина стороны и отрицательный коэффициент

Треугольник ABC гомотетичен треугольнику A′B′C′ с коэффициентом −2. Сторона AB равна 5 см. Найдите соответствующую сторону A′B′ и объясните, что означает знак коэффициента. Для длины важен модуль −2, а не само отрицательное значение. Минус нужно учитывать при определении положения образа относительно центра.

1. Запишем модуль коэффициента: |−2| = 2.
2. Умножим исходную сторону на модуль: A′B′ = 5 · 2 = 10 см.
3. Образ соответствующих точек находится на противоположных лучах из центра, поскольку коэффициент отрицательный.

Ответ: A′B′ = 10 см; знак «минус» указывает на противоположное расположение относительно центра, а не на отрицательную длину. Проверка: отношение соответствующих длин равно 10 : 5 = 2, то есть |k|.

Площадь образа

Площадь фигуры равна 12 см². Её образ получен гомотетией с коэффициентом −3. Найдите площадь образа и отношение соответствующих линейных размеров. Отрицательный знак не делает площадь отрицательной: для площади коэффициент возводится в квадрат. Линейные размеры, напротив, изменяются в |k| раз.

1. Найдём множитель для линейных размеров: |−3| = 3.
2. Найдём множитель для площадей: (−3)² = 9.
3. Вычислим площадь образа: 12 · 9 = 108 см².

Ответ: площадь образа равна 108 см², отношение соответствующих линейных размеров образа и исходной фигуры равно 3 : 1. Проверка: площадь увеличилась в 3² = 9 раз, как и должна при увеличении каждого линейного размера втрое.

Типичные ошибки

Ошибка: умножать длину на k и записывать отрицательный результат. Так делают, потому что знак коэффициента кажется обычным множителем. Но длина не бывает отрицательной: используй |k| и отдельно указывай, на каком луче находится образ. Проверка: ответ для длины должен быть положительным.

Ошибка: считать, что отрицательный коэффициент уменьшает фигуру. Минус воспринимают как признак уменьшения, хотя он отвечает за расположение образа по другую сторону центра. Размер меняется по модулю коэффициента: при k = −3 фигура увеличивается в три раза. Проверяй размер через |k|, а направление — через знак.

Ошибка: умножать площадь на |k| вместо k². Это происходит, если забыть, что у площади два линейных измерения. Основание и высота каждое изменяются в |k| раз, поэтому площадь меняется в k² раз. Для проверки возведи множитель для длины в квадрат.

Ошибка: считать, что центр обязательно находится внутри фигуры. На чертеже центр часто выбирают рядом с фигурой или в ней, и это может сбить с толку. По определению центр задаёт преобразование, но не обязан быть точкой самой фигуры. Проверь, требуется ли такое условие в задаче: обычно его нет.

Связь с другими темами

Для работы с гомотетией нужны понятия луча, отрезка, параллельных прямых и отношения длин отрезков. Они помогают строить образ и сравнивать его с исходной фигурой. Гомотетия связана с подобием треугольников: она показывает, как можно получить подобную фигуру преобразованием плоскости. Позже эти свойства пригодятся при масштабировании чертежей и доказательстве утверждений о подобных фигурах.

Что запомнить

• При гомотетии точка и её образ лежат на прямой, проходящей через центр.
• Расстояние от центра до образа равно |k| расстояния до исходной точки.
• При k > 0 образ лежит на том же луче, при k < 0 — на противоположном.
• Соответствующие длины относятся как |k|.
• Соответствующие углы равны, а соответствующие прямые параллельны или совпадают.
• Отношение площадей образа и исходной фигуры равно k².