§ 1. Теорема Фалеса и следствия из неё

Определения и обозначения

Теорема Фалеса: если несколько параллельных прямых пересекают две прямые и отсекают на одной из них равные отрезки, то на другой они также отсекают равные отрезки. Прямые, которые пересекаются с параллельными, называют секущими. Теорема нужна, чтобы переносить равенство отрезков с одной секущей на другую.

Пропорциональные отрезки — это отрезки, отношения соответствующих длин которых равны. Например, запись a/b = c/d называют пропорцией: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть ad = bc. Такое свойство позволяет находить неизвестную длину.

Параллельные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. В теореме именно они образуют систему прямых, которая пересекает обе секущие. Благодаря параллельности появляются равные соответствующие углы и подобные треугольники.

Деление отрезка на равные части — это построение точек, которые разбивают данный отрезок на несколько частей одинаковой длины. Для этого используют вспомогательный луч, на котором откладывают равные отрезки. Проведённые параллельные прямые переносят это равенство на исходный отрезок.

Как это устроено

Представьте две секущие, пересечённые несколькими параллельными прямыми. Точки пересечения разбивают каждую секущую на отрезки, расположенные между соседними параллельными. Отрезки, заключённые между одной и той же парой параллельных, считают соответствующими.

Почему равенство переносится с одной секущей на другую? Параллельные прямые образуют с секущими равные соответствующие углы, а общий угол возникает в точке пересечения секущих. Поэтому треугольники, образованные этими прямыми, подобны, и их соответствующие стороны относятся одинаково.

Из подобия следует более общее правило: соответствующие отрезки на двух секущих пропорциональны. Если на первой секущей получены a и b, а на второй соответствующие им c и d, то a/b = c/d. При a = b это равенство превращается в c = d, то есть получается сама теорема Фалеса.

Теорема помогает разделить отрезок AB на n равных частей. Из точки A проводят произвольный луч, откладывают на нём n одинаковых отрезков и соединяют последнюю точку с B. Через остальные точки проводят прямые, параллельные полученной соединяющей прямой.

Эти параллельные прямые пересекают AB и создают на нём отрезки, равные между собой по теореме Фалеса. В обратной задаче сначала определяют соответствующие пары, затем записывают пропорцию в одном порядке. Например, если a соответствует c, а b соответствует x, то можно написать a/b = c/x и найти x крестным умножением.

Теорема Фалеса и её применение

Сначала найдите в таблице ситуацию, похожую на условие задачи. Затем проверьте наличие параллельных прямых и установите пары соответствующих отрезков. После этого можно использовать равенство отрезков, пропорцию или описанное построение.

Разбор задач

Задача 1

Параллельные прямые пересекают две секущие. На первой секущей соседние отрезки равны 3 см и 3 см, а один соответствующий отрезок на второй секущей равен 5 см. Найдём второй отрезок.

1. Отметим, что отрезки 3 см и 3 см лежат между одинаковыми парами параллельных, значит, они соответствующие.
2. По теореме Фалеса соответствующие отрезки на второй секущей должны быть равны.
3. Один из них равен 5 см, поэтому второй также равен 5 см.

Ответ: 5 см.

Задача 2

На первой секущей соответствующие отрезки имеют длины 4 см и 6 см, а на второй — 10 см и x см. Требуется найти x.

1. Составим отношение первой пары в порядке «первая секущая к второй»: 4/10.
2. Для второй пары сохраним тот же порядок: 6/x. Получаем пропорцию 4/10 = 6/x.
3. Перемножим по диагонали: 4x = 60, поэтому x = 15.

Ответ: 15 см.

Задача 3

Отрезок длиной 7,5 см нужно разделить на пять равных частей с помощью линейки и угольника. Здесь требуется не вычисление, а построение по теореме Фалеса.

1. Из одного конца отрезка проведём произвольный вспомогательный луч.
2. Отложим на луче пять равных отрезков и обозначим точки деления.
3. Соединим пятую точку с другим концом исходного отрезка.
4. Через первые четыре точки проведём прямые, параллельные соединяющей прямой. Они пересекут исходный отрезок и разделят его на пять частей.

Ответ: каждый полученный отрезок имеет длину 7,5/5 = 1,5 см.

Типичные ошибки

Теорему применяют, не проверив параллельность пересекающих прямых. Такое бывает, когда ученик видит несколько линий и сразу использует знакомую формулу. Проверьте условие: параллельность должна быть явно дана или доказана.

Иногда сравнивают непарные отрезки на секущих. Причина — точки пересечения не отмечены в одинаковом порядке. Пронумеруйте параллельные прямые и сопоставляйте отрезки между параллельными с одинаковыми номерами.

В пропорции меняют местами только один член, например записывают a/b = d/c вместо a/b = c/d. Так нарушается соответствие отрезков. Подписывайте возле каждого числа, какой секущей и какой паре параллельных оно принадлежит.

При построении на луче откладывают отрезки разной длины или проводят линии не параллельно соединяющей прямой. Тогда теорема Фалеса не даёт равного деления. Проверьте одинаковость шагов на луче и направление каждой построенной прямой.

Связь с другими темами

• До изучения темы нужны знания о параллельных прямых, секущей и соответствующих углах. Эти понятия помогают понять условие теоремы и увидеть пары отрезков.
• Нужно уметь находить отношение длин и составлять пропорции. Такой навык превращает геометрическое условие в последовательность обычных алгебраических действий.
• Теорема используется при изучении подобия треугольников и масштабирования. Она также нужна для точных геометрических построений, например для деления отрезков.

Что запомнить

• Теорема Фалеса требует параллельности пересекающих прямых.
• Равным отрезкам на одной секущей соответствуют равные отрезки на другой.
• Соответствующие отрезки на двух секущих пропорциональны.
• В пропорции важно сохранять порядок соответствующих отрезков.
• Чтобы разделить отрезок на равные части, используют вспомогательный луч и параллельные прямые.
• Перед вычислениями отметь на чертеже точки пересечения и соответствующие отрезки.