§ 3. Корни многочленов

Определения и обозначения

Корень многочлена — значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль. Например, если P(a) = 0, то число a — корень P(x); это одновременно корень уравнения P(x) = 0. Определение помогает понять, что именно нужно искать при решении такого уравнения.

Теорема Безу утверждает: остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x−a равен P(a). Двучлен — это выражение из двух слагаемых, например x−3. Теорема позволяет проверять делимость на x−a, не выполняя деление столбиком, и связывает деление многочлена с поиском его корней.

Кратность корня — число, показывающее, сколько раз соответствующий линейный множитель входит в разложение многочлена. Если есть множитель (x−a)³, то корень a имеет кратность 3. Кратность нужна, чтобы описывать разложение полностью и отличать повторяющиеся множители от разных значений корня.

Разложение многочлена на множители — представление его в виде произведения многочленов меньшей степени. Например, x²−1 = (x−1)(x+1). Такое представление упрощает поиск корней: произведение равно нулю, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.

Как это устроено

Найти корни P(x) — значит решить уравнение P(x) = 0, потому что корнем по определению является значение переменной, обращающее многочлен в нуль. Для проверки конкретного числа его подставляют вместо x и выполняют вычисления с учётом порядка действий. Например, проверка не требует догадок: если после подстановки вышел ноль, число подходит, а если нет — не является корнем. Такой способ надёжен, хотя при многочлене высокой степени проверять все числа подряд неудобно.

Пусть многочлен делят на x−a. По теореме Безу остаток равен P(a), поэтому деление можно записать в виде P(x) = (x−a)Q(x) + P(a), где Q(x) — частное. Если a — корень, то P(a) = 0 и остаток равен нулю; значит, P(x) делится на x−a без остатка. И наоборот, если x−a является множителем, подстановка x = a обнуляет этот множитель, поэтому P(a) = 0. Так получается равносвязь между корнем и линейным множителем.

Обнаруженный корень a сразу даёт множитель x−a. Если P(x) = (x−a)Q(x), то вместо исходного многочлена можно исследовать Q(x), степень которого на единицу меньше. Это удобно, потому что задача постепенно сводится к многочленам меньшей степени. При делении важно правильно подобрать знак: если корень равен 3, выносят x−3, а не x+3.

Если найдено несколько корней, можно последовательно вынести соответствующие множители и получить P(x) = (x−a₁)…(x−aₖ)Q(x). Приравнивая произведение к нулю, видим: оно равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, поэтому значения a₁,…,aₖ являются корнями. Многочлен Q(x) тоже нужно проверить: если у него есть корни, они добавятся к списку. Поэтому запись с вынесенными множителями показывает найденные корни, но для утверждения обо всех корнях надо исследовать оставшийся множитель.

Повторяющийся множитель показывает кратность: например, P(x) = (x−2)²(x+1) имеет корень 2 кратности 2 и корень −1 кратности 1. Приравнивание множителей к нулю даёт только два различных значения — 2 и −1. Повторный множитель не создаёт нового корня, а сообщает, сколько раз он входит в разложение. Это различие важно, когда просят найти все корни и отдельно указать их кратности.

Корни многочлена и связанные с ними свойства

Начинай с проверки значения P(a), а затем используй теорему Безу, чтобы перейти от корня к множителю. После разложения приравнивай каждый линейный множитель к нулю и отдельно отмечай его повторения. Кандидаты, найденные по свободному члену, всегда проверяй подстановкой.

Разбор задач

Проверить, является ли число 2 корнем многочлена P(x) = x³−3x²+4.

1. Подставим 2 вместо x: P(2) = 2³−3·2²+4.
2. Вычислим степени и произведение: P(2) = 8−12+4 = 0.
3. По определению корня нулевое значение многочлена означает, что проверяемое число подходит.

Ответ: 2 — корень многочлена.

Разложить P(x) = x³−4x²+x+6 на множители и найти корни.

1. Проверим целые делители свободного члена 6. При x = 2 получаем 8−16+2+6 = 0, значит, 2 — корень и x−2 — множитель.
2. Разделим многочлен на x−2. Получим частное x²−2x−3, поскольку (x−2)(x²−2x−3) раскрывается в исходный многочлен.
3. Разложим квадратный трёхчлен: x²−2x−3 = (x−3)(x+1). Поэтому P(x) = (x−2)(x−3)(x+1).
4. Приравняем множители к нулю: x−2 = 0, x−3 = 0 или x+1 = 0.

Ответ: P(x) = (x−2)(x−3)(x+1); корни: 2, 3 и −1.

Найти все корни P(x) = x⁴−2x³−3x²+4x+4 с учётом кратностей.

1. Проверим целые делители свободного члена. Подстановка x = 2 даёт 16−16−12+8+4 = 0, а подстановка x = −1 даёт 1+2−3−4+4 = 0.
2. Деление на x−2 даёт частное x³−3x−2. Оно также обращается в нуль при x = 2, поэтому содержит ещё один множитель x−2.
3. После вынесения двух множителей остаётся x+1; получаем P(x) = (x−2)²(x+1)².
4. Проверим разложение: (x−2)(x+1) = x²−x−2, а квадрат этого выражения равен исходному многочлену.

Ответ: корни 2 и −1, каждый кратности 2.

Типичные ошибки

Иногда делители свободного члена принимают за готовые корни. Они лишь дают возможных кандидатов: например, число может делить свободный член, но при подстановке многочлен не обратится в нуль. Это происходит потому, что проверяют только один коэффициент, а не всё выражение. Подставь кандидата в P(x) и убедись, что результат равен нулю.

Другая ошибка — путать число-корень и соответствующий множитель. Числу a соответствует x−a: например, корню 3 — множитель x−3, а не x+3. Неверный знак часто возникает из-за смешения решения уравнения x+a = 0 с записью множителя. Проверь связь подстановкой: выражение x−a при x = a должно стать нулём.

При делении на x−a иногда вычисляют P(−a), хотя теорема Безу требует найти P(a). Знак внутри двучлена задаёт нужное значение: x−4 обращается в нуль при x = 4, а x+4 — при x = −4. Ошибку легко заметить, если отдельно решить уравнение x−a = 0. Подставляй именно полученное значение в многочлен.

Повторяющийся корень могут записать как несколько разных корней, например считать 2 и 2 двумя значениями. Повторяется не значение, а множитель: (x−2)² задаёт один корень 2 кратности 2. Такая путаница появляется, когда кратность смешивают со списком корней. Запиши отдельно различные значения, а затем укажи степень каждого соответствующего множителя.

Связь с другими темами

Для работы с корнями нужны умения подставлять числа в многочлены, раскрывать скобки и делить многочлен на двучлен. Эти действия позволяют проверить кандидата, найти частное и проконтролировать разложение. Тема продолжает решение уравнений разложением на множители: вместо громоздкого выражения можно исследовать его отдельные множители. В дальнейшем этот приём помогает решать уравнения высших степеней и исследовать многочлены.

Что запомнить

• Корень многочлена P(x) — число a, для которого P(a) = 0.
• Остаток от деления P(x) на x−a равен P(a).
• Число a является корнем P(x) тогда и только тогда, когда x−a — множитель P(x).
• Вынесение линейного множителя понижает степень многочлена на единицу.
• В разложении на множители корню a соответствует множитель x−a.
• Повторение множителя определяет кратность корня.