"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Разложить многочлен на линейные множители — значит представить его в виде произведения выражений вида ax + b. Такое представление помогает находить корни уравнений, упрощать выражения и сокращать алгебраические дроби. Начать можно с общего множителя или формул сокращённого умножения; если известен корень многочлена, ему соответствует множитель x − a. После разложения полезно раскрыть скобки и сравнить результат с исходным выражением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейный множитель — это множитель вида ax + b, где a ≠ 0. Например, 3x + 2 является линейным, поскольку переменная входит в первой степени. Выражение x − a тоже имеет такой вид: здесь коэффициент при x равен 1, поэтому оно линейное. Такой множитель часто появляется при разложении многочлена.
Корень многочлена — значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль. Если P(a) = 0, то число a является корнем P(x). Это понятие помогает связать решение уравнения с разложением: корню a соответствует множитель x − a. Знак можно проверить подстановкой x = a: тогда этот множитель обращается в нуль.
Разложение многочлена на множители — представление его в виде произведения других многочленов. Например, выражение x² − 9 можно записать как (x − 3)(x + 3). Если каждый множитель имеет первую степень, получено разложение на линейные множители. Оно удобно, когда нужно найти корни уравнения или упростить выражение.
Теорема о корне и линейном множителе утверждает: если a — корень многочлена P(x), то P(x) делится на x − a без остатка. Значит, P(x) можно записать как произведение x − a и другого многочлена. Теорема позволяет перейти от известного корня к множителю, а оставшуюся часть найти делением.
Часто разложение начинают с вынесения общего множителя. Это действие основано на распределительном законе: ab + ac = a(b + c), поэтому вынесение не меняет значение выражения. Например, в 6x² − 24 оба слагаемых делятся на 6, и после его вынесения остаётся разность квадратов. Затем полученную часть нужно проверить отдельно: общий множитель может быть лишь первым шагом.
Группировка полезна, когда общего множителя у всех слагаемых сразу нет. Слагаемые переставляют и объединяют так, чтобы внутри групп появились одинаковые выражения. Их можно вынести за скобки, а затем вынести общий двучлен из получившихся частей. Способ срабатывает потому, что одинаковый двучлен становится общим множителем произведений.
Формулы сокращённого умножения позволяют узнавать многочлен по его виду, не подбирая множители наугад. Например, разность квадратов равна a² − b² = (a − b)(a + b), а квадрат суммы — a² + 2ab + b² = (a + b)². После применения формулы проверьте каждый новый множитель: возможно, его тоже удастся разложить. Так получают конечное произведение линейных выражений.
Если известен корень a, теорема о корне и линейном множителе сразу даёт множитель x − a. Чтобы найти оставшуюся часть, многочлен делят на x − a; деление должно быть без остатка. Этот подход удобен для многочленов, которые трудно сгруппировать или узнать по формуле. Если корень не дан, его иногда находят подстановкой подходящих чисел и проверкой, обращается ли многочлен в нуль.
Для квадратного многочлена ax² + bx + c с корнями x₁ и x₂ разложение имеет вид a(x − x₁)(x − x₂). Коэффициент a сохраняется, потому что произведение двух скобок начинается с x², а исходный многочлен — с ax². Если забыть a при a ≠ 1, старшие члены не совпадут. В конце раскройте скобки: обратное действие показывает, получился ли исходный многочлен.
| Способ | Когда применять | Основное действие | Результат или проверка |
|---|---|---|---|
| Вынесение общего множителя | Общий множитель есть у всех слагаемых | Вынести общий числовой или буквенный множитель за скобки | Раскрыть скобки и проверить, что множитель вынесен полностью |
| Группировка слагаемых | Слагаемые можно объединить в группы с общими множителями | Вынести множитель в каждой группе, затем общий двучлен | Получить произведение и проверить раскрытием скобок |
| Формулы сокращённого умножения | Многочлен имеет вид известной формулы | Заменить многочлен произведением по формуле | Проверить формулу и возможность разложить множители дальше |
| Поиск корня и выделение линейного множителя | Известен или найден корень многочлена | Записать x − a и разделить многочлен на этот множитель | Остаток при делении равен нулю |
| Разложение квадратного многочлена по корням | Найдены корни квадратного многочлена | Записать a(x − x₁)(x − x₂) | Раскрыть скобки и сверить все коэффициенты |
Выбирайте способ по виду многочлена: сначала проверьте общий множитель, затем формулы и группировку. Если известны корни, используйте множители x − a или формулу для квадратного многочлена. После любого способа раскройте скобки, чтобы проверить равенство.
Разложить на линейные множители многочлен 6x² − 24. Сначала стоит проверить, нет ли общего множителя: оба слагаемых делятся на 6. После его вынесения выражение внутри скобок оказывается разностью квадратов.
Ответ: 6(x − 2)(x + 2). Коэффициент 6 оставляем перед произведением, поскольку он был вынесен из исходного многочлена.
Разложить на линейные множители многочлен x³ − 2x² − x + 2. Общего множителя у всех четырёх слагаемых нет, зато выражение удобно разбить на две пары. Выберем пары так, чтобы после вынесения общих множителей в обеих появился двучлен x − 2.
Ответ: (x − 2)(x − 1)(x + 1). Все множители линейные, а умножение каждой группы и раскрытие скобок позволяют проверить, что знаки сохранены верно.
Разложить на линейные множители многочлен 2x² − 5x − 3. Старший коэффициент равен 2, поэтому нельзя сразу записывать произведение только двух скобок вида (x − x₁)(x − x₂). Сначала найдём корни, а затем обязательно сохраним коэффициент при x².
Ответ: (2x + 1)(x − 3). Проверка раскрытием скобок даёт 2x² − 6x + x − 3 = 2x² − 5x − 3.
Если забыть вынести общий числовой множитель, полученное произведение может оказаться не равно исходному многочлену. Часто внимание сосредоточивают на выражении в скобках и теряют число перед ним. Проверьте ответ раскрытием скобок: должны совпасть все коэффициенты.
Для корня a иногда записывают x + a вместо x − a. Ошибка возникает из-за путаницы между числом корня и знаком в скобке. Подставьте x = a: правильный множитель должен обратиться в нуль, а x + a обычно этого не делает.
У квадратного многочлена с коэффициентом при x², не равным 1, нельзя забывать старший коэффициент. Иначе при раскрытии получится коэффициент 1 перед x², а не исходное число. Запишите a(x − x₁)(x − x₂) и проверьте старший член.
Иногда разложение останавливают после первого шага, хотя полученный множитель можно разложить дальше. Так происходит, например, после вынесения общего множителя или применения формулы. Проверьте каждую скобку отдельно: если она ещё раскладывается на линейные множители, продолжите работу.
Для разложения полезны навыки вынесения общего множителя, группировки слагаемых и применения формул сокращённого умножения. Поиск корней квадратного уравнения помогает разлагать квадратный трёхчлен, особенно когда коэффициент при x² не равен единице. Произведение множителей также упрощает решение уравнений: достаточно рассмотреть, при каких значениях каждый множитель равен нулю. При сокращении алгебраических дробей разложение помогает найти одинаковые множители в числителе и знаменателе.
Как понять, что многочлен можно разложить на линейные множители?
Проверьте, есть ли общий множитель, подходят ли формулы сокращённого умножения и можно ли сгруппировать слагаемые. Если известны корни, каждому корню соответствует линейный множитель. Не каждый многочлен раскладывается на линейные множители с рациональными числами.
Почему корню a соответствует множитель x − a?
При подстановке x = a выражение x − a становится равным нулю. Поэтому произведение с таким множителем обращается в нуль при x = a, как и многочлен, для которого a является корнем.
Что делать, если общий множитель не виден сразу?
Посмотрите отдельно на числовые коэффициенты и степени переменной: возможно, у всех слагаемых есть общий числовой множитель или общая степень x. Если этого нет, попробуйте сгруппировать слагаемые или применить формулу сокращённого умножения.
Как разложить квадратный многочлен, если старший коэффициент не равен единице?
Найдите корни x₁ и x₂ и запишите разложение в виде a(x − x₁)(x − x₂), где a — коэффициент при x². Этот коэффициент нельзя терять: он обеспечивает правильный старший член при раскрытии скобок.
Как проверить, что разложение выполнено правильно?
Раскройте скобки в полученном произведении, учитывая все числовые коэффициенты. Если после упрощения получился исходный многочлен, разложение верно.
§ 4. Разложение многочленов на линейные множители
