"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение — q. Эти соотношения помогают проверять решение, подбирать целые корни без вычислений по формуле и составлять уравнение по известным корням. Для неприведённого уравнения ax² + bx + c = 0 нужно учитывать коэффициент a: сумма корней равна −b/a, произведение — c/a.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Числа a, b и c называют коэффициентами: a стоит при x², b — при x, а c не умножается на переменную. Условие a ≠ 0 нужно, чтобы уравнение действительно было квадратным. По коэффициентам можно применять формулы Виета и определять, приведённое уравнение или нет.
Корень квадратного уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Например, если после подстановки числа вместо x левая часть равна нулю, это число является корнем. Уравнение может иметь два корня, один корень или не иметь действительных корней. Проверка подстановкой помогает убедиться, что найденное значение подходит.
Теорема Виета — утверждение, связывающее корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Для приведённого уравнения сумма корней равна числу, противоположному коэффициенту при x, а произведение корней равно свободному члену. Это позволяет находить простые корни без решения уравнения по общей формуле. Теорему также используют для проверки ответа и составления уравнения по корням.
Приведённое квадратное уравнение — уравнение вида x² + px + q = 0, где коэффициент при x² равен 1. Буквы p и q здесь обозначают коэффициент при x и свободный член. Если старший коэффициент не равен 1, уравнение называют неприведённым. Это различие важно: для двух видов уравнения формулы суммы и произведения записываются по-разному.
Пусть приведённое уравнение имеет корни x₁ и x₂. Тогда при x = x₁ и при x = x₂ его левая часть обращается в ноль, поэтому квадратный трёхчлен можно разложить на множители: x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂). Каждый множитель обращается в ноль при соответствующем корне. Значит, разложение не просто даёт удобную запись, а показывает, как корни входят в уравнение.
Раскроем скобки: (x − x₁)(x − x₂) = x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂. Теперь сравним это выражение с x² + px + q. Коэффициент при x слева равен p, а в раскрытых скобках — −(x₁ + x₂), поэтому x₁ + x₂ = −p. Свободные члены равны, значит, x₁x₂ = q.
Если уравнение неприведённое, сначала разделим его обе части на a, поскольку a не равно нулю. Получим x² + (b/a)x + c/a = 0, где коэффициент при x² уже равен 1. Применяя формулы для приведённого уравнения, находим сумму −b/a и произведение c/a. Деление на a важно: без него коэффициенты b и c не соответствуют p и q в формуле Виета.
В этих рассуждениях речь идёт о действительных корнях. Если квадратное уравнение не имеет действительных корней, то нельзя найти пару действительных чисел, которая была бы его парой корней и одновременно удовлетворяла формулам Виета. Например, попытка подобрать действительные числа только по сумме и произведению не гарантирует, что такие корни существуют. Наличие действительных корней можно проверить, в частности, с помощью дискриминанта.
Обратная теорема Виета позволяет идти в другую сторону. Если два числа имеют сумму S и произведение P, составим уравнение x² − Sx + P = 0. Подстановка каждого числа в разложение (x − x₁)(x − x₂) показывает, что оно обращает левую часть в ноль. Поэтому заданные числа и являются корнями составленного уравнения.
| Вид уравнения | Сумма корней | Произведение корней | Уравнение, составленное по корням |
|---|---|---|---|
| Приведённое: x² + px + q = 0 | −p | q | x² + px + q = 0 |
| Неприведённое: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 | −b/a | c/a | x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0 |
| Обратная теорема для заданных суммы S и произведения P | S | P | x² − Sx + P = 0 |
Сначала найдите строку, которая соответствует вашей задаче: для неприведённого уравнения используйте коэффициенты с делением на a. Если известны сами корни, вычислите их сумму и произведение и подставьте в формулу уравнения. В последней строке таблицы S и P — заранее заданные сумма и произведение.
Задача 1. Найти сумму и произведение корней уравнения x² − 7x + 10 = 0. Здесь не требуется вычислять сами корни: достаточно сопоставить коэффициенты с формой приведённого уравнения. Такой подход позволяет быстро проверить результат, если корни уже были найдены другим способом.
Ответ: сумма корней равна 7, произведение — 10.
Задача 2. Подобрать корни уравнения x² + x − 12 = 0, используя теорему Виета. В приведённой записи p = 1, q = −12, поэтому нужно найти два числа с суммой −1 и произведением −12. Отрицательное произведение подсказывает, что числа должны иметь разные знаки.
Ответ: корни уравнения — 3 и −4.
Задача 3. Составить квадратное уравнение с корнями 3 и −5 и записать его в приведённом и неприведённом виде. Сначала найдём сумму S = 3 + (−5) = −2 и произведение P = 3 · (−5) = −15. По обратной теореме Виета уравнение имеет вид x² − Sx + P = 0. Для неприведённого вида умножим полученное уравнение на ненулевое число, например на 2.
Ответ: приведённое уравнение — x² + 2x − 15 = 0; неприведённое — 2x² + 4x − 30 = 0.
При нахождении суммы корней иногда записывают p вместо −p. Минус теряется потому, что коэффициент при x после раскрытия скобок равен отрицательной сумме корней. Чтобы проверить знак, раскройте выражение (x − x₁)(x − x₂) и сравните коэффициенты. Например, в x² − 7x + 10 коэффициент p = −7, значит сумма равна 7.
Другая ошибка — перепутать сумму и произведение: сумма связана с коэффициентом при x, а произведение — со свободным членом приведённого уравнения. Это случается, когда формулы пытаются запомнить без связи с раскрытием скобок. Самопроверка проста: сумма входит в коэффициент при x со знаком минус, а произведение — в последний член. Для x² + x − 12 сумма должна быть −1, произведение −12.
Для неприведённого уравнения нельзя сразу брать −b в качестве суммы и c в качестве произведения. В формулах для такого уравнения коэффициенты b и c делятся на a, иначе результат будет неверным. Перед вычислениями проверьте коэффициент при x²: если он не равен 1, разделите уравнение на a или используйте формулы −b/a и c/a. После этого результат можно проверить подстановкой найденных корней.
Не следует считать, что любые числа, подобранные по сумме и произведению, автоматически являются корнями исходного уравнения. Они должны соответствовать коэффициентам именно этого уравнения, а для неприведённого вида нужно учитывать a. Составьте уравнение по найденным числам и сравните его коэффициенты с исходными. В конце подставьте каждое число в исходное уравнение и убедитесь, что получается верное равенство.
Для работы с теоремой Виета нужно знать, как устроено квадратное уравнение, что называют его коэффициентами и как находить корни. Связь с разложением на множители объясняет формулы: корни появляются в выражениях x − x₁ и x − x₂. Теорема помогает проверять уже найденные корни, подбирать целые корни и составлять уравнения по заданным числам. Эти умения применяются и в задачах, где квадратное уравнение сначала нужно составить по условию.
Почему в формуле суммы корней стоит знак минус?
При раскрытии скобок (x − x₁)(x − x₂) коэффициент при x получается равным −(x₁ + x₂). Поэтому, сравнивая его с коэффициентом p в записи x² + px + q, получаем x₁ + x₂ = −p.
Как отличить приведённое квадратное уравнение от неприведённого?
Посмотрите на коэффициент перед x². Если он равен 1, уравнение приведённое; например, x² + 3x + 2 = 0. Если коэффициент отличен от 1, уравнение неприведённое, и для формул Виета его обычно сначала делят на этот коэффициент.
Можно ли по теореме Виета найти корни без дискриминанта?
Да, если удаётся подобрать числа с нужной суммой и произведением. Для x² + px + q = 0 нужны числа с суммой −p и произведением q. Если подходящей пары сразу не видно, можно найти корни другим способом, например через дискриминант.
Что делать, если подходящую пару корней не удаётся подобрать?
Проверьте знаки и значения суммы и произведения, а также убедитесь, что уравнение приведено. Если целые числа не находятся, корни могут быть дробными или иррациональными. Тогда используйте формулу корней квадратного уравнения и проверьте результат подстановкой.
Как составить квадратное уравнение, если известны его корни?
Найдите сумму S и произведение P заданных корней. Тогда приведённое уравнение имеет вид x² − Sx + P = 0. Чтобы получить неприведённое уравнение, можно умножить все его члены на любое число, не равное нулю.
§ 5. Теорема Виета
