§ 1. Понятие подобия фигур

Определения и обозначения

Подобные фигуры — фигуры, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иначе говоря, фигуры имеют одинаковую форму, хотя размеры могут отличаться. Это определение позволяет проверить, действительно ли одну фигуру можно получить из другой увеличением или уменьшением.

Соответствующие элементы — вершины, углы и стороны фигур, сопоставленные друг другу при подобии. Например, если вершина A сопоставлена вершине A₁, то углы при этих вершинах соответствуют друг другу. Такое сопоставление нужно установить до вычислений, чтобы сравнивать правильные стороны и углы.

Коэффициент подобия — число, равное отношению соответствующих сторон одной фигуры к соответствующим сторонам другой. Если сторона второй фигуры вдвое длиннее соответствующей стороны первой, коэффициент от первой ко второй равен 2. Он нужен, чтобы находить неизвестные длины и описывать изменение размеров.

Подобие фигур — соответствие между фигурами, сохраняющее форму и изменяющее, возможно, только их размеры. При таком соответствии углы не меняются, а все длины изменяются в одинаковое число раз. Поэтому подобие помогает сравнивать фигуры без требования, чтобы они совпадали по размеру.

Как это устроено

Чтобы сравнить две фигуры, сначала сопоставляют их вершины, а затем углы и стороны при этих вершинах. Подсказкой служат равные углы и порядок обхода границы фигуры: соседние вершины одной фигуры должны соответствовать соседним вершинам другой. Если перепутать порядок, можно сравнить стороны, которые не являются соответствующими, и получить неверные отношения.

Равенство углов означает, что повороты границы фигуры в соответствующих вершинах одинаковы. Но одной этой информации недостаточно: фигуры с одинаковыми углами могут иметь разную форму, если длины сторон меняются не согласованно. Пропорциональность соответствующих сторон гарантирует, что все части фигуры увеличены или уменьшены одинаково, поэтому форма сохраняется.

Отношения всех пар соответствующих сторон имеют одно и то же значение, потому что при подобии действует единый масштаб изменения. Например, если каждая сторона второй фигуры в два раза длиннее соответствующей стороны первой, то и отношение любой такой пары равно 2. Это постоянное число и называют коэффициентом подобия; разные значения для разных пар указывают на ошибку или на то, что фигуры не подобны.

Коэффициент показывает, как соотносятся линейные размеры фигур. Если он равен 3 при сравнении второй фигуры с первой, то каждая её сторона втрое длиннее соответствующей стороны первой; коэффициент ½ означает, что длины вдвое меньше. При вычислении важно явно выбрать порядок сравнения: если поменять фигуры местами, коэффициент станет обратным.

Равные фигуры имеют одинаковые соответствующие стороны, поэтому отношения этих сторон равны 1. Их углы тоже равны, и все условия подобия выполнены. Значит, равенство фигур — частный случай подобия, в котором форма и размеры сохраняются полностью.

Признаки и основные характеристики подобных фигур

Сначала проверь условие для углов, затем — для соответствующих сторон: таблица помогает не упустить ни один из этих шагов. Когда коэффициент уже найден, используй его для вычисления длин и периметров, сохраняя выбранный порядок фигур. Строка о равных фигурах показывает частный случай подобия.

Разбор задач

Задача 1. У двух многоугольников соответствующие углы равны, а соответствующие стороны имеют длины 2, 3, 4, 5 и 4, 6, 8, 10. Нужно определить, подобны ли фигуры, и указать соответствие. Сопоставим стороны в данном порядке: тогда сравниваются пары 2 и 4, 3 и 6, 4 и 8, 5 и 10, а углы при соответствующих вершинах равны.

1. Найдём отношения сторон второго многоугольника к сторонам первого: 4/2 = 2, 6/3 = 2, 8/4 = 2, 10/5 = 2.
2. Все отношения одинаковы, значит, соответствующие стороны пропорциональны с коэффициентом 2.
3. По условию соответствующие углы равны. Оба условия подобия выполнены.

Ответ: многоугольники подобны; соответствуют стороны, перечисленные в одинаковом порядке, и углы при соответствующих вершинах. Коэффициент от первого многоугольника ко второму равен 2.

Задача 2. Стороны двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Сторона меньшего многоугольника равна 12 см. Найдём соответствующую сторону большего. Отношение 3:5 записано как «меньшая сторона к большей», поэтому длина большой стороны должна быть больше 12 см.

1. Обозначим неизвестную сторону большего многоугольника через x.
2. Составим пропорцию: 12/x = 3/5.
3. Перемножим крайние и средние члены: 3x = 60, откуда x = 20.

Ответ: соответствующая сторона большего многоугольника равна 20 см. Проверка: 12:20 = 3:5, значит, найденная длина согласуется с условием.

Задача 3. У подобных четырёхугольников стороны первого равны 4, 6, 8 и 10 см, а соответствующие стороны второго — 6, 9, 12 и x см. Периметр первого четырёхугольника равен 28 см. Найдём неизвестную сторону и периметр второго; порядок сторон задан соответствием.

1. По первой паре сторон коэффициент от первого четырёхугольника ко второму равен 6/4 = 1,5.
2. У всех пар отношение одинаково, поэтому x = 10 · 1,5 = 15 см.
3. Периметры подобных фигур относятся с тем же коэффициентом: P₂ = 28 · 1,5 = 42 см.

Ответ: неизвестная сторона равна 15 см, периметр второго четырёхугольника — 42 см. Проверка по сторонам: 6/4 = 9/6 = 12/8 = 15/10 = 1,5.

Типичные ошибки

Сравнивают несоответствующие стороны, потому что записывают вершины фигур в разном порядке. Тогда отношения могут получиться разными даже у подобных фигур. Сначала отметь соответствие вершин и только после этого составляй пары сторон; в конце проверь, что сопоставляются стороны между соответствующими вершинами.

Считают фигуры подобными только по равенству одного или нескольких углов, так как путают сохранение углов с сохранением всей формы. Но длины сторон могут быть изменены несогласованно. Проверь пропорциональность всех соответствующих сторон: если отношения различаются, основания считать фигуры подобными нет.

Переворачивают отношение при вычислении коэффициента или меняют порядок фигур в середине решения. Причина часто в том, что коэффициент записывают без указания, от какой фигуры к какой он относится. Подпиши выбранный порядок, например «вторая к первой», и проверь, что все отношения сторон и периметров записаны одинаково.

Принимают коэффициент подобия за разность или сумму длин, потому что слово «изменение» связывают с прибавлением. Однако коэффициент — это отношение, то есть деление одной длины на другую, а не разница между ними. Проверь единицы: коэффициент безразмерный, а разность длин измеряется в сантиметрах, метрах и так далее.

Связь с другими темами

Для работы с подобием нужны знания об отношениях величин и пропорциях: они позволяют сравнивать стороны и находить неизвестные длины. Также пригодятся равенство углов и свойства многоугольников, помогающие правильно сопоставлять элементы. Эта тема подготавливает изучение подобия треугольников, масштабов, пропорциональных отрезков и геометрических задач на измерение.

Подобие используют не только в задачах из учебника. По нему строят карты, планы, чертежи и модели, где изображение сохраняет форму предмета, но имеет другой размер. Зная масштаб или коэффициент подобия, можно по изображению вычислить настоящие расстояния, в том числе недоступные для прямого измерения.

Что запомнить

• Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но могут иметь разные размеры.
• Соответствующие углы подобных фигур равны.
• Соответствующие стороны подобных фигур пропорциональны.
• Отношение соответствующих сторон называется коэффициентом подобия.
• Коэффициент подобия одинаков для всех пар соответствующих сторон.
• При коэффициенте подобия 1 фигуры равны.
• Для вычислений нужно правильно установить соответствие элементов фигур.