§ 2. Подобие треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — треугольники, у которых соответственно равны углы, а сходственные стороны пропорциональны. Их записывают так: △ABC ∼ △A₁B₁C₁. Подобие означает одинаковую форму фигур, хотя размеры могут быть разными.

Сходственные стороны и углы — элементы треугольников, занимающие одинаковое положение при установленном соответствии вершин. Например, при записи △ABC ∼ △A₁B₁C₁ вершине A соответствует A₁, а стороне AB — A₁B₁. Такое соответствие нужно, чтобы составлять правильные пропорции.

Коэффициент подобия — отношение любой стороны первого треугольника к соответствующей стороне второго: k = AB/A₁B₁. То же число получится для всех пар сходственных сторон. Оно показывает, во сколько раз один треугольник больше или меньше другого.

Признаки подобия треугольников — условия, позволяющие доказать подобие без сравнения всех элементов. Достаточно проверить две пары углов, две стороны и угол между ними или три стороны. Это сокращает доказательство и помогает выбрать нужную пропорцию.

Как это устроено

Порядок записи подобных треугольников не случаен: одинаковые места в записях обозначают соответствующие вершины. Из △ABC ∼ △A₁B₁C₁ сразу следует A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁. Поэтому ∠A = ∠A₁, а AB и A₁B₁ образуют одну пару сходственных сторон.

Если соответствующие углы равны, треугольники имеют одинаковую форму: поворотом или наложением с растяжением один можно совместить с другим. При таком растяжении все расстояния изменяются в одно и то же число раз. Поэтому сходственные стороны не просто связаны, а пропорциональны.

Первый признак работает по двум углам: если две пары соответствующих углов равны, третьи углы тоже равны, потому что сумма углов треугольника равна 180°. Второй признак требует двух пропорциональных сторон и равенства угла между ними: эти данные задают одинаковую форму с одним масштабом. Третий признак использует три пары пропорциональных сторон, поэтому все стороны изменяются с одним коэффициентом.

Отношения сходственных сторон одинаковы: AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁ = k. Это равенство позволяет находить неизвестную длину через пропорцию, но только после правильного установления соответствия. Если поменять порядок треугольников, коэффициент станет обратным: 1/k.

Периметр складывается из трёх линейных сторон, каждая из которых умножается на k, поэтому P₁/P₂ = k. Площадь зависит от двух измерений, например основания и высоты; оба измерения изменяются в k раз. Значит, S₁/S₂ = k², а не k.

Подобие треугольников и его признаки

Сначала найдите в условии известные элементы и сопоставьте вершины. Затем выберите строку с подходящим признаком и запишите равенства или пропорции. Последнюю строку используйте после доказательства подобия, когда нужно найти периметр или площадь.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ даны ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Нужно доказать подобие и установить соответствие вершин.

1. Равенство углов при вершинах A и A₁, B и B₁ даёт две пары соответствующих равных углов.
2. По первому признаку △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
3. Порядок записи показывает соответствие: A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁. Поэтому AB ↔ A₁B₁, BC ↔ B₁C₁, AC ↔ A₁C₁.

Ответ: треугольники подобны по двум углам; соответствующие вершины — A и A₁, B и B₁, C и C₁.

Задача 2

Сходственные стороны одного треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см, а коэффициент подобия первого треугольника ко второму равен 1,5. Требуется найти стороны второго треугольника и его периметр.

1. По определению k = сторона первого / сторона второго, значит сторона второго равна стороне первого, делённой на 1,5.
2. Получаем 6 : 1,5 = 4 см, 8 : 1,5 = 5⅓ см, 10 : 1,5 = 6⅔ см.
3. Периметр второго треугольника равен 4 + 5⅓ + 6⅔ = 16 см. То же можно получить из периметра первого: 24 : 1,5 = 16 см.

Ответ: 4 см, 5⅓ см и 6⅔ см; периметр равен 16 см.

Задача 3

В треугольнике ABC отрезок DE параллелен BC, D лежит на AB, E — на AC; AD = 4 см, AB = 10 см, AC = 15 см. Нужно найти AE и доказать подобие ADE и ABC.

1. Угол A общий для обоих треугольников. Из DE ∥ BC следуют равенства ∠ADE = ∠ABC и ∠AED = ∠ACB как соответственных углов.
2. По первому признаку △ADE ∼ △ABC, причём A ↔ A, D ↔ B, E ↔ C.
3. Коэффициент малого треугольника к большому равен AD/AB = 4/10 = 0,4. Поэтому AE/AC = 0,4 и AE = 15 · 0,4 = 6 см.

Ответ: △ADE ∼ △ABC; AE = 6 см.

Типичные ошибки

Неправильно сопоставляют вершины и стороны. Ошибка появляется, когда пропорцию составляют по названиям, не проверив углы. Запишите соответствие стрелками и убедитесь, что обе стороны лежат напротив одинаковых углов.

Считают достаточным равенство одной пары углов или одной пары сторон. Одного равенства недостаточно для установления формы треугольника. Проверьте, есть ли второе равенство углов, угол между пропорциональными сторонами или третья пропорция.

Путают коэффициент подобия с обратным отношением. Если k = сторона первого / сторона второго, переход к первому треугольнику требует умножения, а ко второму — деления. Подставьте найденные длины обратно и проверьте, получается ли исходное значение k.

Утверждают, что площади относятся как k. Линейные размеры дают множитель k по двум направлениям, поэтому площади относятся как k². Например, при k = 3 площадь увеличивается в 9 раз.

Связь с другими темами

Для подобия нужны свойства углов треугольника, признаки равенства треугольников и правила работы с пропорциями. Подобие используется в теореме Пифагора, задачах о высотах и медианах, масштабе и расстояниях до недоступных объектов. Позже оно поможет понять тригонометрические соотношения и выполнять практические измерения по модели.

Что запомнить

• У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
• Порядок записи подобных треугольников определяет соответствие их вершин.
• Два равных угла — достаточное условие подобия треугольников.
• По двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними треугольники подобны.
• По трём пропорциональным сторонам треугольники подобны.
• Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.
• Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.